Навчальна дисципліна: Основи геометрії

Лекційний курс

Тема 1. Історичний нарис обґрунтування геометрії

1. Предмет основ геометрії.

2. Геометрія до Евкліда.

3. "Початки" Евкліда. Критика системи Евкліда.

4. Спроби доведення V постулату.

5. Дослідження Саккері, Ламберта і Лежандра.

6. Відкриття неевклідової геометрії.

Контрольні запитання

1. Чому не можна довести всі без винятку геометричні твердження і дати означення всім геометричним поняттям?

2. Які поняття в геометрії називаються основними? Які твердження називаються аксіомами?

3. Що таке означення, теорема?

4. Що слід розуміти під терміном «обґрунтування геометрії»?

5. Що являла собою геометрія Стародавнього Сходу?

6. Які основні досягнення геометри в Стародавній Греції?

7. Чому виникла потреба логічного обґрунтування геометрії? Хто із стародавніх учених вперше поставив таке завдання?

8. Охарактеризуйте зміст «Початків» Евкліда.

9. Сформулюйте аксіоми і постулати Евкліда.

10. Назвіть основні недоліки системи Евкліда.

11. Сформулюйте V постулат Евкліда. Яка частина цього постулату виявилась зайвою?

12. Чому саме V постулат Евкліда викликав найбільший інтерес у дослідників «Початків»? Чому виникло тверде переконання, що його можна довести на основі інших постулатів і аксіом Евкліда?

13. Доведіть, що V постулат Евкліда еквівалентний аксіомі паралельних. Які допоміжні твердження для цього треба використати?

14. Чому багатовікові спроби довести V постулат не мали успіху? Яка типова помилка припускалась багатьма вченими? Проілюструйте це на прикладі «доведення» V постулату Проклом.

15. Наведіть приклади тверджень, еквівалентних V постулату.

16. Чим відрізнялись дослідження проблеми V постулату вченими XVIII ст. Саккері, Ламбертом і Лежандром від досліджень їхніх попередників?

17. Розкрийте суть міркувань Саккері. Чи вдалося йому розв'язати проблему V постулату?

18. Проаналізуйте міркування Ламберта. Як близько він підійшов до правильного розв'язання проблеми V постулату?

19. Яким чином намагався розв'язати проблему V постулату французький математик Лежандр? У чому полягає його основна заслуга?

20. Яким чином була розв'язана проблема V постулату К. Гауссом, Я. Бойяї та М.І. Лобачевським? Чому пріоритет у розв'язанні цієї проблеми та створенні неевклідової геометрії було беззаперечно віддано М.І. Лобачевському?

Тема 2. Елементи геометрії Лобачевського

1. Абсолютна геометрія і аксіома Лобачевського.

2. Паралельні прямі на площині Лобачевського.

3. Властивості прямих на площині Лобачевського.

4. Функція Лобачевського.

5. Властивості трикутників на площині Лобачевського.

6. Поняття про еквідистанту. Основні властивості еквідистант.

7. Поняття про орицикл. Основні властивості орицикла.

8. Теореми про серединні перпендикуляри сторін трикутника та наслідки з них.

Контрольні запитання

1. Що таке абсолютна геометрія? Наведіть кілька тверджень цієї геометрії. Чи є система аксіом абсолютної геометрії повною? Хто вперше ввів термін «абсолютна геометрія»?

2. Сформулюйте аксіому Лобачевського. Що таке площина Лобачевського? Простір Лобачевського?

3. Покажіть, що на площині Лобачевського через дану точку можна провести безліч прямих, які не перетинають дану пряму.

4. Які прямі на площині Лобачевського називаються паралельними даній прямій? Скільки існує таких прямих?

5. Які прямі на площині Лобачевського називаються розбіжними відносно даної прямої, а які — збіжними відносно неї?

6. Що таке кут паралельності? Чому цей кут на площині Лобачевського менший ?

7. Доведіть, що на площині Лобачевського дві паралельні прямі асимптотично зближаються в бік паралельності.

8. Чи можуть паралельні або збіжні прямі на площині Лобачевського мати спільний перпендикуляр? Чи мають такий перпендикуляр розбіжні прямі? Відповідь обґрунтуйте.

9. Відомо, що в евклідовій площині дві прямі паралельні, якщо при перетині їх третьою прямою утворюються внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 2d. Чи будуть такі прямі паралельними на площині Лобачевського? Відповідь обґрунтуйте.

10. Доведіть, що кут паралельності зменшується зі зростанням довжини перпендикуляра р, опущеного із точки на пряму.

11. Що таке функція Лобачевського? Запишіть її аналітичний вираз, дослідіть її поведінку, зробіть відповідні висновки. Як пов'язані між собою геометрія Лобачевського і геометрія Евкліда?

12. Чому в просторі Лобачевського немає потреби в еталоні-довжини? Відповідь обґрунтуйте.

13. Якою є сума кутів трикутника на площині Лобачевського? Відповідь обґрунтуйте.

14. Доведіть, що на площині Лобачевського не існує подібних, але нерівних трикутників. Якими є на площині Лобачевського два трикутники, якщо їх відповідні кути рівні?

15. Доведіть, що на площині Лобачевського не завжди можна описати коло навколо трикутника. Від чого це залежить?

16. Що називається еквідистантою? Назвіть властивості еквідистанти в площині Лобачевського.

17. Що називається орициклом? Назвіть властивості орицикла в площині Лобачевського.

18. Чому орицикл називають граничною лінією?

19. Сформулюйте теореми про серединні перпендикуляри трикутника в площині Лобачевського. Які лінії можна описати навколо трикутника?

20. Що є спільного між колом, еквідистантою і орициклом?