Тема 3. Завершення логічного обґрунтування геометрї

1. Проблема несуперечливості геометрії.

2. Система аксіом евклідової геометрії за Гільбертом.

3. Різні шляхи обґрунтування геометрії.

4. Векторне обґрунтування геометрії Евкліда. Система аксіом Вейля.

5. Побудова геометрії за схемою Вейля.

Контрольні запитання

1. Охарактеризуйте етапи розвитку аксіоматичного методу побудови геометрії.

2. Назвіть перші спроби доведення несуперечливості геометрії Лобачевського.

3. Які вимоги повинна задовольняти система аксіом?

4. Яка система аксіом називається несуперечливою? Незалежною? Повною?

5. Що таке реалізація (інтерпретація) системи аксіом?

6. Назвіть основні об'єкти і основні відношення аксіоматики Гільберта.

7. Назвіть аксіоми належності системи Гільберта.

8. Назвіть аксіоми порядку системи Гільберта.

9. Назвіть аксіоми конгруентності системи Гільберта.

10. Назвіть аксіоми неперервності та паралельності системи Гільберта.

11. Назвіть основні об'єкти і основні відношення систем аксіом М. Пієрі та В.Ф. Кагана.

12. Назвіть основні об'єкти та основні відношення векторної системи аксіом Г. Вейля.

13. Назвіть аксіоми додавання системи Г. Вейля.

14. Назвіть аксіоми множення вектора на число системи Г. Вейля.

15. Назвіть аксіоми скалярного добутку векторів.

16. Назвіть аксіоми розмірності та аксіоми відкладання вектора в системі Г. Вейля.

17. Сформулюйте основні наслідки з системи аксіом Г. Вейля.

Тема 4. Сучасна аксіоматична побудова евклідової геометрї

1. Основні поняття.

2. Аксіоми належності.

3. Аксіоми порядку.

4. Аксіоми міри для відрізків і кутів.

5. Аксіома існування трикутника, рівного даному.

6. Аксіома існування відрізка даної довжини.

7. Аксіома паралельних.

8. Просторові аксіоми.

Контрольні запитання

1. Які поняття є основними в системі аксіом О.В. Погорєлова?

2. Сформулюйте аксіоми належності, доведіть основні наслідки з них.

3. Сформулюйте аксіоми порядку. Яке відношення роз'яснюється в цих аксіомах?

4. Користуючись основними поняттями «точка», «пряма», «лежати між», дайте означення понять «лежати по один бік від даної точки», «відрізок», «промінь».

5. Користуючись аксіомами порядку, доведіть, що кожна точка прямої розбиває її на два різні промені з початком у цій точці.

6. Які промені називаються доповняльними?

7. Користуючись поняттями «точка», «промінь», «відрізок», дайте означення понять «кут», «розгорнутий кут», «трикутник».

8. Сформулюйте і доведіть теорему Паша.

9. Сформулюйте аксіому міри для відрізків. Покажіть, що, користуючись цією аксіомою, можна ввести координати на прямій, тобто кожній точці прямої поставити у відповідність дійсне число. Чи можна, навпаки, виходячи лише з цієї аксіоми та попередніх аксіом, кожному дійсному числу поставити у відповідність точку на прямій?

10. Що означає висловлення: «Промінь проходить між сторонами кута»?

11. Користуючись теоремою Паша, доведіть, що коли промінь проходить між сторонами кута, то він перетинає будь-який відрізок з кінцями на сторонах цього кута.

12. Сформулюйте аксіому міри для кутів. Доведіть теорему про відкладання кута від даного променя.

13. Користуючись поняттями «довжина відрізка» та «градусна міра кута», дайте означення рівності відрізків і кутів, а потім - рівності трикутників.

14. Сформулюйте аксіому відкладання трикутника, рівного даному. Доведіть основні наслідки з неї.

15. Сформулюйте аксіому існування відрізка даної довжини. Користуючись цією аксіомою, доведіть, що кожному дійсному числу можна поставити у відповідність єдину точку на прямій. Яке значення має цей факт?

16. Сформулюйте аксіому паралельних та доведіть основні твердження, які випливають безпосередньо з цієї аксіоми. Яку роль відіграє ця аксіома в евклідовій геометрії?

17. Сформулюйте просторові аксіоми, доведіть основні наслідки з них.