Колебательные процессы в приборных системах Введение

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Колебания представляют собой наиболее распространенный вид движения, которое обладает свойством повторяемости, периодичности. Трудно назвать области техники, где бы ни возникали колебательные движения.

Колебания имеют огромное значение для таких отраслей, как автоматическое управление, машино- и приборостоение, радиотехника и радиоэлектроника, электротехника, акустика. В некоторых отраслях техники колебательные процессы изучаются с целью борьбы с колебаниями, в других, наоборот, - с целью наиболее оптимального их использования для различных целей.

Хотя колебания, рассматриваемые в различных областях, например в механике, радиотехнике, акустике и др., отличаются друг от друга по своей физической природе, основные законы этих колебаний во всех случаях остаются одними и теми же. Поэтому изучение механических колебаний является важным не только по той причине, что такие колебания очень часто имеют место в технике, но вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях.

Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактором установившегося движения в рассматриваемой системе, либо - с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Изучение закономерностей и разработка методов исследования колебательных процессов является предметом теории колебаний.

1. Математические модели колебательных процессов

1. Свободные незатухающие колебания

Рассмотрим консервативную механическую систему с одной степенью свободы, подчиненную, стационарным удерживающим связям (не содержащими производных по времени от координат), для которой уравнение динамики имеет вид:

(1)

где: t – время, q – обобщенная координата, – обобщенная скорость, К – кинетическая энергия, П – потенциальная энергия системы.

При малых значениях q, т.е. при малых колебаниях кинетическая энергия системы примет вид, сходный с выражением кинетической энергии материальной точки:

(2)

Множитель, а называют инерционным коэффициентом. Отметим, что а > 0.

Определим также потенциальную энергию системы, являющуюся функцией обобщенной координаты q. Считая перемещения q малыми, после преобразований получаем:

, (3)

где: с - коэффициент жёсткости.

Подставляя в уравнение (1) выражения (2) и (3) для кинетической и потенциальной энергии, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний линейной системы с одной степенью свободы:

(4)

Полагая:

(5)

где: k - положительное вещественное число, называемое круговой частотой, получим:

(6)

Общее решение этого однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентом имеет вид:

q = C₁·sin k·t + C₂·cos k·t. (7)

Причём постоянные интегрирования C₁ и C₂ определяются через начальные условия q(0) = q₀ и в виде:

(8)

Окончательно имеем:

(9)

Чаще пользуются иной формой записи:

q = A·sin(k·t+α), (10)

где:

(11)

. (12)

Движение, отвечающее уравнению (10), график которого представлен на рис.1, является незатухающим гармоническим колебанием. Оно характеризуется амплитудой А, начальной фазой α и круговой частотой k. Амплитуда А – наибольшее отклонение системы от положения равновесия, вместе с круговой частотой k позволяет получить полное представление о свободных колебаниях системы как о периодическом движении.

q T

q₀

A

0

t

Рис. 1

Понятие начальной фазы имеет значение при изучении нескольких одновременно протекающих периодических движений, имеющих одинаковую круговую частоту k. Пусть имеем два колебательных процесса, определяемых уравнениями:

q₁ = A₁·sin k·t,

q₂ = A₂·sin (k·t+α)

Начальные фазы в случаях q₁ и q₂ соответственно равны нулю и α. Величиной угла сдвига фаз (разностью фаз) будет α .

В противоположность амплитуде и начальной фазе, круговая частота свободных колебаний (собственная частота) не зависит от начальных условий и имеет вполне определенное (для данной системы) значение, что относится и к периоду колебаний.

Круговая частота k есть число полных колебаний за 2π единиц времени. Она связана с  f (число колебаний в единицу времени) и периодом Т (продолжительность одного полного колебания) зависимостями:

k = 2π · f, (13)

T = 1/ f = 2π / k =2π · (14)

Согласно (5) собственная частота зависит только от коэффициента жёсткости с и инерционного коэффициента а, т.е. от параметров самой системы. Независимость круговой частоты и периода колебаний от начальных условий, а, следовательно, и от амплитуды является важным свойством гармонических свободных колебаний – изохронизмом. Следовательно, круговая частота и связанный с ней период колебаний являются главными физическими характеристиками линейной системы с одной степенью свободы с точки зрения её вибрационного расчёта.