5. Линейные модели тренда Предположим, что имеет место линейная зависимость т. Е.

. (4.5.1)

Найдем оценки коэффициентов a и b по фактическим данным об уровнях ряда (t_i; y_i) (i=1,…,n) так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретической кривой от реальных данных была минимальной

(4.5.2)

или

. (4.5.2а)

Возьмем частные производные Q по параметрам a и b и приравняем их нулю

, (4.5.3)

.

Первое уравнение системы (4.5.3) можно преобразовать к виду

или

.

Второе уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, мы имеем систему уравнений

,

. (4.5.4)

Ее решение позволяет найти оценки параметров a и b.

Для упрощения расчетов (при нечетном количестве точек ряда – 2к+1) будем считать, что ряд образуется для моментов времени –к, -к+1, … 0, 1, 2, ….. к .

Тогда

и система уравнений имеет решение

,

. (4.5.5)

Полученная модель используется для прогноза показателя на момент времени t_L

(4.5.6)

Ошибки в оценке параметров приводят к ошибке в оценке тренда (среднего уровня), т. е. величина (t_L) является случайной.

Дисперсия ошибки прогноза оценивается по формуле

(4.5.7)

где y(t_L)– истинное значение величины:

;

n – количество точек имеющегося временного ряда;

L – количество точек периода упреждения;

- оценка остаточной дисперсии.

Из формулы (4.5.7) следует, что дисперсия ошибки прогноза увеличивается с увеличением периода упреждения (L) и уменьшается с увеличением числа точек временного ряда (n).

ПРИМЕР. Опишем динамику добычи угля в Англии за ряд лет (табл. 4.2) линейной зависимостью.

Таблица 4.2

ti	yi	ti^2	yiti	i
1	227	1	227	-6,3
2	219	4	438	-2,7
3	209	9	627	2,9
4	197	16	788	10,5
5	193	25	965	10,0
6	200	36	1200	-1,4
7	199	49	1393	-4,8
8	197	64	1576	-7,2
9	191	81	1719	-5,6
10	177	100	1770	4,0
11	175	121	1925	1,6
12	167	144	2004	5,2
13	193	169	2509	-25,2
14	144	196	2016	19,4
Итого 105	2688	1015	19157	0

Система уравнений (4.5.4) имеет вид

,

откуда =225,1 ; = - 4,41, т. е. линейная модель имеет вид

.

При прогнозировании на 5 лет (t_L=19) прогноз добычи угля по модели составит

.

Определим дисперсию ошибки прогноза по формуле (4.5.7), оценив предварительно остаточную дисперсию.

;

.

Средняя квадратичная ошибка прогноза при этом составит 14,0, а коэффициент вариации

%.

Такая точность прогноза является вполне приемлемой.