8.Вопросы по теме « ряды и интеграл фурье»
8.1Примеры скалярного произведения для функций одной переменной
Скалярное произведение и норма функций
Обозначим
символом 
множество функций,
кусочно-непрерывных на промежутке
[a,b],
т.е. функций, имеющих на промежутке
[a, b]
конечное число точек разрыва первого
рода и непрерывных во всех остальных
точках этого промежутка.
Скалярным
произведением функций 
называется
число
.
Свойства скалярного произведения функций полностью совпадают со свойствами скалярного произведения векторов:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
; 
.
Таким образом, скалярное произведение линейно зависит от своих компонентов. Это свойство называется билинейностью скалярного произведения.
Функции 
называются
ортогональными 
на
[a,
b],
если 
.
Нормой
функции 
на
промежутке [a, b]
называется неотрицательное число 
,
квадрат которого равен скалярному
произведению функции 
на
себя:
.
8.4 Определение ряда фурье и его коэффициентов для функций с периодом 2пи
Ряд Фурье для функции с периодом 2l.
Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция с периодом 2 l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье.
Сделаем замену переменной по формуле
х
= lt /
π.
Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке –π ≤ x ≤ π:
где (Пискунов, стр. 341 – дописывать не надо)
Возвратимся к старой переменной x:
Тогда будем иметь:
(24)
Формула (23) получит вид
,
(25)
где коэффициенты a0, ak, bk вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.
Заметим, что все теоремы, которые имели место для рядов Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l.
Пример.
Разложить в ряд Фурье функцию ƒ(x) с периодом 2 l, которая на отрезке [-l , l] задается равенством ƒ(x) = | x |.
(Пискунов, стр.342, рис. 383)
Решение. Так как рассматриваемая функция – четная, то
Следовательно, разложение имеет вид
8.5 Теорема Дирихле для разложения в ряд Фурье с периодом 2 пи
Теорема Дирихле. Функция f(x), периодическая с периодом Т = 2l, удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [-l,l], разлагается в тригонометрический ряд Фурье (53), причем: a) в каждой точке непрерывности х функции f(x) ряд Фурье (53) сходится к значению f(x); b) в каждой точке разрыва хi, функции f(x) ряд Фурье (53) сходится к значению
Тригонометрический ряд Фурье является частным случаем рядов, которые получаются для произвольных систем функций, ортогональных на отрезке [а, b]. Причем сами функции не обязаны быть периодическими.
8.6 Ряд Фурье для функции с произвольным интегралом
Разложение периодической функции с периодом L.
Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.
Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид
Где коэффициенты ряда Фурье,
Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования - от -L/2 до L/2 вместо - π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид
где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,
(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)
Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.
Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.
Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид
