12

Раздел 1: теория вероятностей

Литература:

1. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005. – 608 с.

2. Теория статистики с основами теории вероятностей: Учебное пособие для вузов/ И.И. Елисееева, В.С. Князевский, Л.И. Ниворожкина, З.А. Морозова; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. – 446 с.

3. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика в определениях, формулах и таблицах: справочное пособие. – Ростов-н/Д: Феникс, 2007. – 192 с.

4. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 543 с.

5. Гмурман. В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей

1 вопрос. Предмет теории вероятностей.

2 вопрос. Основные понятия и определения теории вероятностей.

3вопрос. Классификация событий.

4вопрос. Классическое определение вероятности события.

5вопрос. Свойства вероятностей.

6 вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.

Событие обозначаются заглавными буквами начала латинского алфавита: А, В, С, D, E и т.д.

- достоверное событие

Ø – невозможное событие

Ā – событие, противоположное событию А

4 Вопрос. Классическое определение вероятности события

Вероятностью появления случайного события А называется отношение числа исходов (шансов), благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех благоприятствующих и не благоприятствующих исходов (шансов) (или к общему числу всех равновозможных, единственно возможных и несовместных элементарных исходов).

Классическое определение было сформулировано Лапласом в XV11 веке .

5 Вопрос. Свойства вероятностей.

1 .0 ≤ Р(А) ≤ 1

2. P(Ω)=1

3. P(Ø)=0

6 Вопрос. Частости и статистическое определение вероятности.

Относительная частота появления события А определяется формулой:

Статистическая вероятность определяется эмпирически по результатам опытов следующим образом:

P*(A) ≈ P(A)

Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей

1 вопрос. Алгебра событий. Вероятность суммы и произведения событий.

2 вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события.

3 вопрос. Формула полной вероятности.

4 вопрос. Вычисление вероятностей гипотез. Формула Байеса.

5 вопрос. Формула Бернулли. Повторные испытания.

6 вопрос. Вероятнейшее (наивероятнейшие) число появлений событий.

1 вопрос. Алгебра событий. Вероятность суммы и произведения событий.

Произведением нескольких событий A₁,A₂,…,A_n называется событие Е, состоящее в их совместном наступлении: Е=А1*А₂*А₃*...*Аn

Если речь идет о 2-х событиях А и В, то А и В=и А и В =А*В=Е. (А В)

Принцип Лапласа: А+В= или А или В или А*В (А В).

Если А и В - несовместные события, то А и В = А*В=Ø.

Разность - А\В

Дадим геометрическую интерпретацию основных действий над событиями с помощью диаграмм Вена.

1. А		2. В		3. А+В		АВ
5.		6.		7. А-В=А		8. В-А=В
9.		10.

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

1. А+В=В+А – коммутативность сложения

2. А+(В+С)=(А+В)+С – ассоциативность сложения

3. АВ=ВА – коммутативность умножения

4. А(ВС)=(АВ)С – ассоциативность умножения

Вероятность суммы несовместных событий - Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Вероятность суммы совместных событий - Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В).

Сумма вероятностей событий, образующую полную группу, всегда равна 1. Если события А1,А2,…,Аn образуют полную группу, то Р(А1)+Р(А₂)+...+Р(Аn)=1 или

Сумма вероятностей противоположных событий Р(А)+Р(Ā)=1

Вероятность произведения 2-х независимых событий А и В - Р(А*В)=Р(А)*Р(В).

Вероятность произведения 2-х зависимых событий А и В - Р(А*В)=Р(А)*Р_А(В)=Р(В)*Р_В(А)

Вероятность произведения нескольких зависимых событий -

P(A1*A2*A3….An)= P(A1)*P_A1(A2)*P_А1А2(A3)…