2 Вопрос. Вероятность появления хотя бы одного события
Для независимых событий в совокупности - P(A)=1 - P(Ā1)*P(Ā2)…P(Ān)
Если события А1, А2,..., Аn - зависимые в совокупности, то
Р(А)=1 – Р(Ā1)*РĀ1(Ā2)*Р Ā 1 Ā2(Ā3)*…*Р Ā1 Ā2 Ā3…Ān-1(Ān)
Пример: Два студента сдают экзамен. Первый выучил 20 из 30 вопросов , а второй 25 из 30. Какова вероятность того, что: а) оба студента сдадут экзамен, б) хотя бы 1 студент сдаст экзамен .
Решение : 1 . Обозначим события : А - 1-й студент сдал экзамен;
В - 2-ой студент сдал экзамен;
С - оба сдадут экзамен;
D - хотя бы 1 студент сдаст экзамен.
2. Определим вероятности:
P(A)=M/N=20/30=0,67 ; P(B)=M/N=25/30=0,83
а) Т.к. А и В независимые события, то Р(С) = Р(А*В) = 0,67 * 0,83 = 0,5561
б) P(D) = 1-Р(Ā)*Р( )= 1-0,33*0,17 = 0,9439, где Р(Ā) = 1 - Р(А) = 1-0,67 = 0,33
P( ) = 1 – P(В) = 1-0,83 = 0,17
3 Вопрос. Формула полной вероятности
Н1,Н2,...,Нn, - гипотезы
Формула полной вероятности.
Пример: При слиянии акционерного капитала двух фирм, аналитики фирмы, которая получает контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, то вероятность успеха равна 0,3. Аналитики полагают, что шансы на уход в отставку председателя составляют 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки.
Решение : 1. Обозначим событие А - успех сделки;
2. Обозначим гипотезы: Н1 - председатель уйдет в отставку, H2 - председатель не уйдет в отставку.
3. Определим вероятность события А :
Гипотезы Нi |
Вероятности гипотез Р(Нi) |
Условные вероятности РНi(А) |
Совместные вероятности Р(Нi)*РНi(А) |
Н1 |
0,7 |
0,65 |
0,455 |
Н2 |
0,3 |
0,3 |
0,09 |
Сумма |
1 |
--- |
Р(А)=0,545 |
Или
по формуле:
4 Вопрос. Вычисление вероятностей гипотез . Формула Байеса.
H1,H2,...,Hn, - гипотезы
Условные вероятности РA(Н1),РA(Н2),...,РA(Нn).
Формула Байеса:
Пример: Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7; в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подражает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого экономического роста - 0,2. Предположим что доллар подорожал в течение текущего периода. Чему в таком случае равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста.
Решение : 1 .Определим событие А - доллар подорожал;
2.Определим гипотезы Н1 - активный экономический рост
H2 - умеренный экономический рост
Н3 - низкий экономический рост.
3. Используя формулу Байеса и подставляя заданные значения вероятностей найдем Pa(H1):
Тот же результат можно получить, используя таблицу следующего вида:
Гипотезы Нi |
Априорные вероятности гипотез Р(Нi) |
Условные вероятности РНi(А) |
Совместные вероятности Р(Нi)*РНi(А) |
Апостериорные вероятности РА(Нi) |
Н1 |
0,3 |
0,7 |
0,21 |
|
Н2 |
0,5 |
0,4 |
0,20 |
|
Н3 |
0,2 |
0,2 |
0,04 |
|
Сумма |
1 |
--- |
Р(А)=0,45 |
1 |
