2.9 Потенциальная энергия
Потенциальная энергия связана с взаимным расположением тел в данной системе и также как кинетическая энергия может измеряться работой, которую может совершить система, переходя из одного состояния в другое. Поскольку потенциальная энергия отражает взаимодействие тел или отдельных частей тел, то при вычислении работы необходимо учитывать природу силы, за счет которой осуществляется взаимодействие. Поэтому количественное выражение потенциальной энергии для различных сил будет разным.
Найдем
выражение потенциальной энергии для
упруго сжатой (упруго растянутой)
пружины. В этом случае потенциальная
энергия зависит от взаимного расположения
отдельных частей тела (например, от
расстояния между соседними витками
пружины). Для того чтобы найти потенциальную
энергию упруго сжатой пружины, необходимо
вычислить работу, которая была затрачена
на накопление этой энергии. Так как
упругая сила зависит от степени сжатия
или растяжения
,
то выражение для работы при перемещении
тела
можно записать:
. (2.20)
Интегрируя
последнее выражение от начального
значения растяжения
до конечного значения растяжения
,
получаем
, (2.21)
где
– это выражение потенциальной энергии
пружины.
Потенциальной
энергией обладают и тела, поднятые над
поверхностью Земли. Для поднятия тела
массы
на высоту
необходимо совершить работу (при условии,
что
)
, (2.22)
данная работа пойдет на увеличение энергии системы тело-Земля, т.е.
.
Считая,
что в состоянии, когда тело находилось
на поверхности Земли, потенциальная
энергия системы
,
получим
.
Таким образом, потенциальная энергия
тела, поднятого на высоту
над поверхностью Земли равна
. (2.23)
При выводе данной формулы предполагалось, что ускорение свободного падения является величиной постоянной. Следует отметить, что значение потенциальной энергии зависит от выбора системы отсчета.
При
вычислении потенциальной энергии
упругой пружины рассматривалась работа,
совершаемая внутренними силами системы.
Поэтому при определении потенциальной
энергии поднятого тела над Землей также
целесообразно перейти к внутренним
силам системы. При поднятии тела над
Землей скорость движения тела постоянна,
то внешняя сила
,
т.е. для внутренних сил системы (в данном
случае внутренней силой является сила
тяжести) совершенная работа будет
отрицательной.
Таким образом, работа, совершенная внутренними силами системы, и изменение потенциальной энергии связаны следующим образом:
. (2.24)
2.10 Закон сохранения энергии
Для
вывода закона сохранения энергии
рассмотрим простейший случай свободного
падения тела. В данном случае система
состоит из двух тел: падающего тела и
земли. На тело в данном случае будет
действовать только сила тяжести
.
Под действием этой силы тело приобретает
ускорение, т.е. его скорость падения по
мере приближения к Земле будет
увеличиваться, а это означает, что сила
тяжести совершает работу, которая идет
на изменение кинетической энергии тела
. (2.25)
Также за счет силы тяжести происходит изменение взаимного расположения тела по отношении к Земле, т.е. изменяется потенциальная энергия тела. Согласно равенству (2.24)
. (2.26)
Так как работа совершена одной и той же силой, то можно записать следующее равенство
(2.27)
или
,
(2.28)
откуда
.
(2.29)
Величина
,
равная сумме кинетической и потенциальной
энергий, называется полной механической
или просто энергией тела. Полученное
соотношение (2.29) выражает закон сохранения
энергии тела. Этот закон формулируется
следующим образом: В
изолированной системе полная энергия
неизменна. При переходе из одного
состояния в другое кинетическая и
потенциальная энергии переходят одна
в другую, но их сумма остается неизменной.
Под изолированной системой мы будем понимать систему тел, в которой не действуют силы трения и сопротивления.