- •1. Понятие эконометрики. Осн-е задачи эконометрики
- •2. Понятие корреляции и регрессии. Виды регр-й и корр-ий. Задачи регр-ого и корр-ого анализа.
- •4. Метод наимен квадратов (мнк)
- •5.Коэффициент корреляции.
- •7. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии
- •8. Проверка гипотез относит. Коэф-тов лин. Ур-я регрессии
- •9. Интерв. Оценки коэф-ов лин. Ур-ния регрессии
- •10. Доверительный интервал для зависимой переменной
- •14. Дисперсии и станд. Ошибки коэф-в мр
- •17. Проверка общего кач-ва уравнения множественной регрессии.
- •19. Проверка равенства двух коэффициентов детерминации
- •26 Показательная модель.
- •31.Основные проблемы, возникающие при решении задач векторной оптимизации.
- •3. Проблема определения области компромисса.
- •32. Методы решения многоцелевых задач.
- •36. Метод равных и наименьших относительных отклонений.
8. Проверка гипотез относит. Коэф-тов лин. Ур-я регрессии
При стат. анализе возник. необх-ть сравнения эмпирич.значений коэф-тов с теоретич. ожидаемыми их значениями. Такой анализ осущ-ся по схеме статистич. проверки гипотез.
Гипотеза , подлежащая проверке, наз-ся основой(нулевой). Гипотеза , которая будет приниматься, если отклонится наз-ся альтернативной (конкурирующей).
Для проверки гипотезы : = ; : ≠ ,строится t-статистика по формуле =(в0-β)/ . При справедливости гипотезы она имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν=n-2, где n-объем выборки. По числу степеней свободы и заданному ур-ню значимости α по таблицам критич. точек нах-ся критич.значение Гипотеза отклоняется, если│ │≥ (для коэф-та аналогично).
На начальном этапе статистич. анализа более важной задачей явл-ся установление линейн. связи между переменными X,Y.Эта задача решается аналогично: : =0; : ≠0. = : ; │ │≥ , то гипотеза отклоняется. Данную гипотезу называют гипотезой о статистич. значимости коэф-та регрессии. Если приним-ся, -статистически незначим. Чтобы определить статистич. значимость можно не пользоваться таблицами:
Если │t│ 1-то в этом случае коэф-т не может быть признан значимым. Доверительная вероят-ть составит меньше чем 0,7
Если 1≤│t│ 2- то найденная оценка может рассматриваться как слабозначимая. В этом случае доверит. вероят-ть нах-ся в пределах 0,7 и 0,95.
Если 2≤│t│ 3- то в этом случае говорят о сильной линейной зависимости X и Y.Доверительная вероят-ть от 0,95 до 0,99.
Если │t│ 3-очень сильная линейная зависимость.
9. Интерв. Оценки коэф-ов лин. Ур-ния регрессии
Рассм-им t-статистику:
Чтоб построить 100(1- )доверит.интервал по треб-му уровню знач-ти и числу степени свободы,опред-ся критич. знач-е: , n-2, кот. удовл-ет след. усл-ю:
Подставим и получим.
Выраж-ие в скобках и опред-ет доверит. интервал
10. Доверительный интервал для зависимой переменной
Одной из задач эк. моделир-я является прогнозир-е зависимой переменной при определённых знач-х независимой переменной. Пусть построено ур-е регрессии:
Необходимо на осн. данного ур-я предсказать условное мат. M (Y/xp) переменной Y при Х=хр. Значение является оценкой M (Y/xp).
Возникает вопрос как сильно может отклониться модельное значение от соответствующего условного мат. ожидания M (Y/xp). Покажем, что случ. величина имеет нормальное распределение, для этого исп-ем формулы для ci и di.
Следовательно случ. величина явл. линейной комбинацией нормальных случ. величин, значит и сама имеет норм. распределение. Найдём мат. ожидание и дисперсию данной случ. величины.
Поскольку по выборке определена быть не может, то вместо её подставим несмещённую оценку: , тогда получим выборочную исправленную дисперсию величины .
В дельнейшем будем исп-ть случ. величину , которое имеет распределение t-стьюдента с числом степеней свободы ν=n-2.
По заданному уравнению значимости α и числу степеней свободы определяем критич. точку ,n-2 , кот. удовлетворяет след. условию .
Подставим значение вместо t→ ,n-2< ,n-2 =
Выражение в скобках и определяет доверительный интервал для условного мат. ожидания .
11.Проверка общего кач-ва ур-ния регрессии. Мерой общего кач-ва ур-ния регрессии ,т.е. соотв-ия ур-ния регрессии к стат. данным явл. коэф-т детерминации (R2),кот. определяется по след. формуле: R2=1-( ei2/ (yi -y¯)2). Выясним смысл коэф-тов детерминации: как известно, реальные значения зависимой переменной отлич. от модельных значений на величину ei : yi=yi^+ ei , i=1,n. Последнее соотнош-е можно переписать в виде:yi-y^=(yi^-y¯)+(yi-yi^), где yi- y¯ - отклонение i-ой наблю-ой точки от среднего значения; yi^-y¯ - - отклонение i-ой наблю-ой точки на линии регрессии от среднего значения; yi-yi^ - отклонение i-ой наблю-ой точки от модельного знач-я.
Возведем обе части в квадрат и просуммируем по всем n: (yi-y¯)2= (yi^-y¯)2+2* (yi^-y¯)2*ei+ (yi-yi^)2.
(yi-y¯)2 –полная сумма квадратов ( меру разброса зависимой переменной относительно среднего значения).
(yi^-y¯)2 –обьясненная сумма квадратов (мера разброса, кот. объясняется с помощью регрессии).
(yi-yi^)2 –необъясненная сумма квадратов.
Разделим обе части последнего выражения на левую часть, получим:
1=( (yi^-y¯)2/ (yi-y¯)2)+( ei2/ (yi-y¯)2). Введем обозначения: R2= (yi^-y¯)2/ (yi-y¯)2, тогда получим исходную формулу. Коэф-т детерминации (R2) определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую ур-нием регрессии. 0≤R2≤1, чем ближе R2 к единице, тем лучше кач-во постр-ой регрессии. Можно показать, что R2=ryx2. Судить о кач-ве ур-ния регрессии можно и по средней ошибке аппроксимации, котор. опред-ся по формуле: A¯=1/n* Iyi-yi^/yiI*100%, если A¯≤10%, то построенное ур-ние регрессии качественно.
12. На любой экон. показатель чаще всего оказ. влияние не один, а неск. факторов. В этом сл. вместо парной регрессии рассм. мн. регрессия. M(Y/x1, x2, ..., xm)=f(x1, x2, …, xm). Ур-е мн. регр. в общем виде Y=f(β, x)+ε, где β= β0, β1, …, βm - вектор теоретических коэфф-в, кот. нужно опред. X=(X1, X2, …, Xm) – в-р незав. перем. Теоретическое лин. ур-е множ. регр-и: Y = β0+ β1X1+ β2X2+…+ βmXm+ε, или в каждом конктреном случае yi= β0+ β1xi1+ β2xi2+…+ βmxim+εi, i= . Число степеней свободы для множ. лин. регр-и равно ν=n-m-1. Если n>m+1, то возник. необх-ть оценивания теоретич. коэфф. регр-и. Как и в случае парной регр-и мы будем использ. метод наим. квадратов. Так и для парной регр-и должны вып-ся предпосылки Гаусса-Маркова. Но для множ. регр-и очень существ-ми явл. еще 2 предпосылки. Отсутствие мультиколлинеарности, т.е. м-ду незав. перем-ми должна отсутств. сильная лин. зав-ть. Случ. отклон-е εi, i= должны иметь норм. распределение εi ~ N(0, δ2). Как и в случ. парной регр-и истинные знач-я коэфф-в по выборке опред-ть невозможно, поэтому строится эмпирич. ур-е регр-и. =b0+b1x1+…+bmxm. Для кажд. наблюд-я мы получим yi= +ei i= . Для нахожд-я оценок b0, b1, …, bm исп-ся ф-ла Q(b0, b1, …, bm)= min. Данн. ф-я явл. квадратичной. Необх. усл-ем сущ-я минимума явл. =0 всех ее частичных производных
13. Расчет коэффициентов множ. регр. Представим данные набл-ий и соотв-ие коэф-ты в матр. форме:
x11
x12 ... x1n
x21
x22 ... x2n
… x1m
x2m
…xmn ............................... 1 xn1 xn2 ...
xnm
y2 b1 e2
Y= y3 , X= , B= ... , e = ...
...
yn bm en
Ф-цию Q = в матр. форме можно предст. как произв-е - вектор строки на вектор-столбец е. А в свою очередь вектор-столбец е можно записать в виде: е= У-ХВ.
Тогда их ф-цию Q запишем в виде: Q= е=(У-ХВ)Т(У-ХВ)=УТУ-ВТХТУ-УТ ХВ+ВТХТ ХВ=УТУ-2 ВТХТУ+ ВТХТ ХВ
Мат-ки док-но, что в.-столбец частных производных ф-ции Q по оцениваемым парам-рам имеет вид:
. Приравняем =0, получим форм-лу для вычисл-я оц-к множ. лин. регр.:
( )В=ХТУ => В=( )-1 ХТУ.