14. Дисперсии и станд. Ошибки коэф-в мр

Знание дисперсии и станд. ошибок позвол-т анализ-ть точность оценок, строить доверит. интервалы для теоретич. коэф-в регр-ии, проверять соотв-щие гипотезы. Наиб. удобной ф-лой расчета данных хар-к явл-ся матрица.

1

………

0 0 … 1

D( 1) ...

D( 2) ... .................................

... D( n)

-ые 3 предпосылки выглядят в след. виде:

1. М( )=0

2 . D( )= ² 1 1

3. K( )= )= ²E, где = 2 , _n*1= 1 ,E_n*n= , K( ) =

… ...

n 1

В предыд. пункте была получена ф-ла опр-я эмпирич. коэф-в множеств. линейн. регресии : В=( )^-1 Х^ТУ. Подставим в данную ф-лу теоретич. знач-я зависим-й переменной: У= + ,

В=( )^-1 + =( )^-1( ) +( )^-1 = +( )^-1 .

Из последней ф-лы следует, что В- =( )^-1 .

Построим дисперсионно-ковариационую матрицу вектора оценок параметра: K(В)=М((В-М(В))*(В-М(В))^Т)=М((В- )*(В- )^Т)=

= М((( )^-1 )*(( )^-1 )^Т)= М(( )^-1 )^-1).

Т.к. все независимые перем-ые , j= не явл-ся случ. величинами, то получим:

Х(В)=( )^-1 )^-1=( )^{-1 2}E )^-1= ² )^-1.

Получим, что дисперсия оценок: D(b_j)= ²z_jj , j= , где z_jj – диагональный эл-т матрицы )^-1.

Но т.к. знач-е дисперсии ² по выборке опр-ть невозможно, то оно замен-ся соотв-ей несмещенной оц-кой:

S²= /n-m-1. Значит по выб-ке мы можем опр-ть лишь выборочн. дисперсии эмпирич. коэф. регрессии:

S²(b_j)= S² z_jj= /n-m-1)* z_jj , j= . Аналогично как и в парной регр. S= – станд. ошибка регр.

S²(b_j)= – стандартная ош-ка коэф. регр.

15. После опред-я точечных знач-й , j= теор-х коэф-ов регрессии мы можем опред-ть интервальные оценки указан-х коэф-ов.Для этого строит-ся t-статистика. - )/S( ),кот. имеет распред-е Стьюдента с υ=n-m-1.По выбранному уровню значим-ти(α) опред-м , кот. удов. соотнош-ю P( )=1-α. После преобраз-я для теор-х коэф-ов регрессии получим доверительные интервалы вида: - * S( )< < + * S( ), где S( )= = = Аналогично с парной регрессией можно постр-ть в матрич. форме оценку для сред. знач-я зависимой перемен.,когда X= , - *S* <M( / )< + *S*

16.Проверка стат значимости коэф ур-ния регресс. Как и в случае парн регрес стат значимость коэф множ лин регрес с m объясняющими перемен проверяется на основе t-стат: имеющей в данной ситуации распределен Стьюдента с числом степеней свободы ν= n-m-1. При требуе­мом уровне значимости наблюд значение t-стат срав­нивается с крит точкой t_α/2,n-m-1 распредел Стьюдента.

17. Проверка общего кач-ва уравнения множественной регрессии.

Для этого используется коэф-т детерминации , 0≤R²≤1. На ряду с коэф-том детерминации R² использ-ся скорректированный (исправленный) коэф-т детерминации, для этого в числителе и знаменателе делается поправка на число степеней свободы , , последнюю формулу легко получить, если в формуле R² разделить числитель и знаменатель на , понятно, что . Доказано, что добавление в модель новых объясняющих переменных осущ-ся до тех пор, пока растет скорректир-й коэф-т детерминации. После проверки статистической значимости каждого коэф-та регрессии можно проверить совокупную значимость коэф-тов, такой анализ осущ-ся на основе проверки гипотезы об общей значимости, т.е. гипотезы об одновременном равенстве 0 всех коэф-тов при объясняющих переменных: Н₀: b₁=b₂=…=b_n=0. Если гипотеза Н₀ не откланяется, то в этом случае совокуп-е влияние всех объясняющих переменных на зависимую переменную можно считать статистич-ки несущественным, а общее кач-во уравнения регрессии невысоким. Данная гипотеза проверяется на основе сравнения объясненной и остаточной дисперсий. Н₀: объясненная дисперсия = остаточной дисперсии; Н₁: объясненная дисперсия > остаточной дисперсии. Для этого строится F-строка по формуле: . F-статистика имеет распредиление Фишера, которое при выполнимости прелпосылок МНК имеет следующее число степеней свободы: ν₁=m, ν₂=n-m-1, по заданному уровню значимости α и числам ν₁ и ν₂ определяется F-критическое: F_кр=F_α,m,n-m-1. Если F>F_кр, то гипотеза Н₀ откланяется в пользу Н₁, это значит, что объясненная дисперсия > остаточной дисперсии, а это в свою очередь значит, что построенное уравнение регрессии хорошо описывает поведение зависимой переменной.

На практике вместо указанной гипотезы проверяется гипотеза о статистической значимости коэф-та детерминации: Н₀: R²=0, Н₁: R^2≠0. Для этого строится F-строка вида: .

18. Анализ осущ на основе проверки гипотезы об общей значим-ти- гип об одновр-м равенстве нулю всех коэф-в регрессии при объясняющих перем-х o: = =……. =0. Если o не отклоняется, то совок-е влияния всех объясняющ перем-х на завис-ю перем-ю можно счит-ь стат-и не существ-ым, а общее кач-во урав-я регресс-и не высокое. Данная гипотеза провер-ся на основе сравнения объясненной и остаточ-й дисперсии. o: объяс-я дисперсия=остаточ-й, ı: объясн-я дисперсия > остаточ-я дисперс-я. Для этого строи-ся F статистика по формуле: F= . F стат-ка имеет распред-ие Фишера, кот при выполнимости пердпос-к МНК имеет следующ-е число степеней свободы: υı=m, υ₂=n-m-1. По заданному уровню значим-ти λ и числам υı, υ₂ опред-ся Fкритич=Fλ,m,n-m-1,если F>Fкритич, то гипотеза o отклон-ся в пользу ı это значит, что объяснен-я дисперсия больше остаточной дисп-и, а это означ что построенное уравн-ие регресс хорошо описывает повед-ие зависим-й переем-й. На практике вместе с указ-ой гипотезы провер-ся гипотеза о стат. Значим. Коэф-та детерминации: o: R²=0, ı:R² F= .