31. Приемы анализа рядов динамики, аналитическое выравнивание.

Изучение и тенденции развития и сезонных колебаний в РД.

Тенденции развития РД (тренд) – изменение РД эволюционного характера, определяющее общее направление развития явления при исключении влияния случайных и систематических (сезонных) колебаний.

Методы для выявления тренда:

1. Укрупнение интервалов. РД разделяются на нек. достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, учитывая длину каждого интервала (одновременно уменьшается число интервалов).

2. Метод скользящей средней. Для более плавного выравнивания РД исходные уровни РД заменяются средними величинами (их получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих). Но при этом количество рабочих членов РД уменьшается.

# месяц – yt

янв – 10, фев – 15, мар 28, апр 45…

x1 – средняя за янв, фев, март

х2 – средняя за фев, март, апр

х3 – средняя за март, апр, май

Экстраполяция – выравнивание РД для прогноза дальнейшего развития явления

Интерполяция – выравнивание РД для нахождения недостающих членов ряда.

3. Методы аналитического выравнивания РД без сезонных колебаний (методы прогнозирования):

- метод прямолинейного выравнивания

- метод криволинейного выравнивания

t – временной параметр

ŷt – выровненное значение РД

yt – фактическое значение

b – кф. регрессии (наклон прямой)

a – начальный кф.

Название криволинейной зависимости:

ŷt = … – уравнение кривой (аппроксимирующей зависимости)

Yt = … - преобразование кривой

1. Линейная (прямая)

ŷ_t = a + bt -

2. Экспоненциальная (простая)

ŷ_t = ae^bt, e ≈ 2,17 Y_t = ln ŷ_t

3. Степенная

ŷ_t = at^b Yt = lnŷ_t, T = lnt

4. Гиперболическая 1-го типа

ŷ_t = a + b/t T = 1/t

5. Гиперболическая 2-го типа

ŷ_t =1/(a+bt) Y_t = 1/ ŷ_t

6. Гиперболическая 3-го типа

ŷ_t = t/(a+bt) Y_t = 1/ ŷ_t, T = lnt

7. Логарифмическая

ŷ_t = a + b lnt T = lnt

8. S-образная

ŷ_t = ea+b/t Y_t = lnŷ_t, T = lnt

9. Обратная логарифмическая

ŷ_t = 1 / (a+b lnt) Y_t = 1/ŷ_t, T = lnt

10. Модифицированная экспонента

ŷ_t = a+bc^t -

11. Кивая Гомперца

ŷ_t = ab^{c^t} Y_t = lg ŷ_t

12. Логистическая

ŷ_t = 1 / (a+bc^t) Y_t = 1/ŷ_t

Методы аналитического выравнивания (прямолинейного и криволинейного) с помощью аппроксимации (подгонки) уравнения регрессионной зависимости используются для краткосрочного и среднесрочного прогнозирования.

4. Методы аналитического выравнивания РД с сезонными колебаниями:

1. метод гармонического анализа (синусоида)

2. ряд Фурье

3. методы экспоненциального сглаживания

Выбор наилучшей аппроксимирующей зависимости осуществляется:

1. min стандартные ошибки

minSr = √[∑(y_t-ŷ_t)²/(n-p-1)]

p – количество параметров в уравнении регрессии

2. min остаточной дисперсии

minσ²_ост = ∑(ŷ_t-y_t)²/n

3. max кф. детерминации

maxr²

Метод Брианта:

с = [(n-1) ∑y_t*y_t+1 - ∑y_t*∑y_t+1] / [(n-1) ∑y_t² – (∑y_t)²] (* здесь ∑ от t=1 до n-1)

b = [n∑c^ty_t - ∑c^ty_t] / [n∑c^2t – (∑c^t)²]

а = [∑y_t - b∑c^t] / n

n – количество членов в РД

Для п.п. с 10 по 12 (где 3 параметра) – метод Брианта

Для п.п. с 1 по 9 (где 3 параметра) – метод Гомеса

Для линейной зависимости:

a = (∑y_t - b∑t) / n

b = (n∑ty_t - ∑t∑y_t) / (n∑t² – (∑t)²)

Уравнение логисты:

ŷ_t = 1 / (a+bc^t) Y_t = 1/ ŷ_t

с = [(n-1) ∑Y_t*Y_t+1 - ∑Y_t*∑Y_t+1] / [(n-1) ∑Y_t² – (∑Y_t)²] (* здесь ∑ от t=1 до n-1)

b = [n∑c^tY_t - ∑c^tY_t] / [n∑c^2t – (∑c^t)²]

а = [∑Y_t - b∑c^t] / n