Расчет оптимальных параметров пи регулятора с помощью рафчх
Расчет по этому методу получают аналогично критерию Найквиста: если система разомкнутая, то она имеет степень колебательности не ниже заданной, если – замкнутая, то система будет обладать заданной степенью колебательности в том случае, когда РАФЧХ разомкнутой АСР будет проходить через точку , . Т.о. запишем:
,
где m – степень колебательности:
а ψ – коэффициент затухания:
Т.о.
Это отношение разности двух соседних положительных амплитуд переходного процесса к первой из соседних амплитуд.
Расчет производится посредством выделения вещественной и мнимой части РАФЧХ.
Порядок расчета следующий:
1. Подставляя в передаточную функцию объекта и регулятора вместо выражение , получим РАФЧХ объекта и , соответственно.
2. Из теории, по критерию Найквиста запишем, запишем:
.
3. Выделим вещественную и мнимую части: , , где:
.
4. Путем алгебраических преобразований получим зависимости:
.
5. Строится график параметрической зависимости и откладывается точка чуть левее максимума. Координаты этой точки будут соответствовать коэффициентам ПИ регулятора: KP – C1, KI – C0.
Как это делается на практике!
На первом этапе надо получить аналитические выражения для параметров C1 и C0. Это сделать трудно, но можно, согласно алгоритму описанному выше.
Передаточная функция ПИ регулятора описывается выражением:
,
где C1 и C0 соответствуют пропорциональному и интегральному коэффициентам регулятора. Подставляя вместо оператора Лапласа значения , получим выражение РАФХ для ПИ регулятора:
.
Аналогичную подстановку сделаем и для передаточной функции объекта:
1-ого порядка:
2-ого порядка:
Полученные выражения подставляем в (1). Выделяем действительную и мнимую части и решаем систему уравнений относительно и , подставляя численные значения , , , и выбранную степень колебательности m.
В общем случае для объектов 1-ого и 2-ого порядка C1 и C0 имеют вид:
где для объекта 1-ого порядка:
для объекта 2-ого порядка:
Далее, задача сводится к построению графика зависимости , где . Для этого требуется получить массивы значений для и . Эта процедура производится посредством циклического вычисления значений для и при увеличивающемся значении частоты с постоянным шагом. График строится до тех пор, пока первый раз не пересечет ось абсцисс, т.е. пока – используется оператор цикла while. Отметим, что шаг изменения частоты надо взять таким образом, чтобы количество точек графика от начала до пересечения с осью абсцисс было в пределах от 25 до 40. Далее определяются координаты точки, соответствующие максимальному значению – функция max. Следующая за ней точка с координатами по ω и будет соответствовать оптимальным параметрам ПИ регулятора. Записываем передаточную функцию ПИ регулятора:
sysReg=tf([C0opt C0opt],[1 0])
Построение переходного процесса системы и снятие его параметров
Построение переходного процесса
Когда получены передаточные функции для объекта и регулятора, можно получить общее описание системы управления с обратной связью и построить график переходного процесса системы управления.
Для начала перепишем модели объекта и регулятора в переменных пространства состояний:
sysReg=ss(sysReg);
sysObj=tf(sysReg);
Как было сказано выше, это связано с тем, что операции с моделью, которая имеет запаздывание, адекватно реализуются только в переменных пространства состояний.
Далее формируем контур отрицательной обратной связи
sys=feedback(sysObj,sysReg);
Отметим, что регулятор расположен в обратном контуре. Получив общую модель системы с помощью функций step и plot строим график переходного процесса:
[ypp,t]=step(sys,t);
plot(t,ypp);
Снятие параметров переходного процесса
Параметрами переходного процесса являются
– динамическая ошибка ;
– статическая ошибка ;
– время регулирования .
Динамическая ошибка – это максимальное отклонение от установочного значения. Другими словами, в данном случае – значение максимального всплеска (первого), которое определяется, как наибольшее значение из элементов вектора ypp.
Статическая ошибка и время регулирования взаимосвязаны. Обычно при расчете с помощью РАФЧХ в качестве статической ошибки берется величина второго положительного всплеска, а время, при котором произошел этот всплеск, будет соответствовать времени регулирования. Т.о. координата максимума второго положительного всплеска по оси абсцисс будет соответствовать времени регулирования, а по оси ординат – статической ошибке.
В качестве одного из возможных вариантов определения статической ошибки предлагается следующее:
– определить минимальное значение вектора ypp:
[ymin,n]=min(ypp)
– обнулить первые n значений:
ynew=ypp; ynew(1:n)=zeros(1,n);
– определить максимальное значение нового вектора и определить значение элемента вектора времени с тем же порядковым номером.