40

Теория вероятности:

1. Вероятность того, что первый студент (из 3-х сдающих экзамен) сдаст экзамен ровно 0,8, что второй 0,9, а третий 0,6. Найти вероятность того, что:1. только один студент сдаст экзамен;

2. все три студента сдадут экзамен;

3. ни один не сдаст экзамен;

4. хотя - бы один сдаст экзамен.

Решение:

1. P(A₁)=p_1*q_2*q₃+q_1*p_2*q₃+q_1*q_2*p_3;

2. P(A₂)=p_1*p_2*p_3;

3. P(A₃)=q_1*q_2*q₃;

4. P(A₄)=1-q_1*q_2*q₃. @

2. Для сигнализации об аварии установили 2 независимо работающих сигнализации. Вероятность того, что при аварии сигнализация сработает 0,95 – для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение:

p₁=0,95 q₁=1-0,95=0,05 A₁

p₂=0,9 q₂=1-0,9=0,1 A₂

P(A)=P(A1*A2’+A2*A1’)=

=P(A1)*P(A2’)+P(A2)P(A1’)=p1*q2+q1*p2=

=0,95*0,1+0,05*0,9=0,14 @

3. Студент разыскивает в 3-х справочниках формулу. Вероятность того, что формула содержится в 1-ом, 2-ом и в 3-ем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7, и 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:

1. только в одном справочнике;

2. только в двух случаях;

3. во всех 3-х справочниках;

4. хотя – бы в одном.

Решение:

p₁=0,6 q₁=0,4

p₂=0,7 q₂=0,3

p₃=0,8 q₃=0,2

1.P(A)=p_1*q_2*q₃+p_2*q_1*q₃+p_3*q_2*q₁=0,6*0,3*0,2+0,7*0,4*0,2+0,8*0,3*0,4=0,188.

2.P(B)=p₁*p₂*q₃+p₂*p₃*q₁+p₃*p₁*q₂=0,6*0,7*0,2+

+0,7*0,8*0,4+0,8*0,6*0,3=0,452.

3.P(C)=p1*p2*p3=0,6*0,7*0,8=0,336.

4.P(D)=1-q1*q2*q3=1-0,4*0,3*0,2=1-0,024=0,976

Или

P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0,188+0,452+0,336=0,986. @

4. В ящике 10 одинаковых шаров: 6-черных, 4-белыхю По очереди вынимают 2 шара, при этом:

1. один шар в ящик возвращают;

2. не возвращают.

Найти вероятность извлечения во второй раз черного шара.

Решение:

10 Шаров

6 черных 4 белых

Т.к события А и В не зависимы, то:

1. P(A)= ;

2. P(B)= .@

5. В электра - цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,1, 0,15, и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

Решение:

p₁=0,1 q₁=0,9

p₂=0,15 q₂=0,85

p₃=0,2 q₃=0,8

Тока в цепи не будет, если хотя – бы один не работает.

P(A)=1-q_1*q_2*q₃=1-0,9_*0,85_*0,8=0,612@

6. Пусть n-стрельцов стреляют по цели. Вероятность попадания для каждого из них составляет 0,6. Сколько стрельцов должны стрелять, чтобы с надежностью не меньше 0,95 цель была поражена?

Решение:

p=0,6 q=0,4

P=0,95

Хотя - бы один попал – это ни один не попал.

P(A)=1-P(B)=1-0,4_*0,4_*…_*=(1-qⁿ)=1-0,4ⁿ>=0,95

0,4ⁿ<=1-0,95

0,4ⁿ<=0,05

ln 0,4ⁿ<=ln 0,05

n_*ln 0,4<=ln 0,05

(ln 0,4<0)

n= @

7. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных на 3–х разных заводах. Вероятность брака деталей в первой коробке равна 0,1, во второй – 0,05, а в 3-ей – 0,2.

1. какова вероятность вытащить качественную деталь?

2. взятая на удачу деталь оказалась качественной, какова вероятность, что она со 2-ой коробки?

Решение:

p₁=0,1

p₂=0,05

p₃=0,2

A – качественная деталь

H1 – деталь с первого завода;

H2 – со второй коробки;

H3 – с третьей коробки.

1. P(A)=P(H1)*P_H1(A)+P(H2)*P_H2(A)+P(H3)*P_H3(A)

P_H1(A)=0,9

P_H2(A)=0,95

P_H3(A)=0,8

P(A)=

2. P_A(H₂)= @

8. Готовясь к экзамену, студент выучил 60 из 80 вопросов программы. Экзаменационный билет состоит из 3-х вопросов. Найти вероятность того, что в выбранном билете студент знает:

1. все 3 вопроса;

2. только 2 вопроса;

3. ни один вопрос.

Решение:

8 0

60 знает 20 не знает

1. P(A)=

2. P(B)=P(A₁)*P(A₂)*P(A₃)+…=

3. P(C)= @

9. Cо складов поступила продукция с 3-х заводов: с 1-го 30%, со 2-го 45% и с 3-го 25%. Вероятность брака на 1-ом составляет 3%, на 2-ом - 2% и на 3-ем – 4%. Найти вероятность того, что на угад взятое изделие стандартно.

Решение:

A – деталь стандартная;

H1 – деталь поступила с 1-го завода;

H2 – деталь поступила со 2-го завода;

H3 – деталь поступила с 3-го завода.

P(A)=P(H₁)*P_H1(A)+P(H₂)*P_H2(A)+P(H₃)*P_H3(A)

P(H1)=0,3 P_H1(A)=0,97

P(H2)=0,45 P_H2(A)=0,98

P(H3)=0,25 P_H3(A)=0,96

P(A)=0,3*0,97+0,45*0,98+0,25*0,96=0,291+0,441+0,24=0,972 @

10. Есть 2 урны с шарами. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй – 7 белых и 6 черных шара. Из первой урны переложили 1 шар во вторую урну, затем из второй урны вынули 1 шар. Определить вероятность того, что этот шар окажется белым.

Р

2б.+3ч.

7б.+3ч.

ешение:

А – белый шар;

Н₁ – переложили белый шар;

Н₂ – переложили черный шар;

P(H₁)= PH₁(A)=

P(H₂)= PH₂(A)=

P(A)= @

11. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в 1-ой группе получили 20 студентов из 30-ти положительные оценки. А во 2-ой группе – 15 из 25.

1. найти вероятность того, что на удачу выбранная работа имеет положительную оценку;

2. эта работа написана студентом 1-ой группы.

Решение:

30 25

20+ 10- 15+ 10-

А – положительная оценка;

Н₁ – с 1-ой группы;

Н₂ – со 2-ой группы.

1. P(H₁)= PH₁(A)=

P(H₂)= PH₂(A)=

P(A)=

2. PA(H₁)= @

12. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом номер 1; 2 коробки, изготовленные заводом номер 2. Вероятность того, что деталь , изготовленная заводом номер 1 стандартная 0,8. Найти вероятность того, что взятая на удачу деталь оказалась стандартной.

Решение:

А – деталь стандартная;

Н1 – деталь с первого завода;

Н2 – деталь со второго завода.

P(H1)= P_H1(A)=0.8

P(H2)= 2/5 P_H2(A)=0.9

P(A)=3/5 * 0.8 + 2/5 *0.9 = 42/50 = 0.84

@

13. Два равносильных шахматиста играют в шахматы что вероятнее выиграть : 2 партии из 4-ч или 3 партии из 6

P=1/2 q=1/2

P₄(2)=C²₄*(1/2)²*(1/2)² = (4!/(2!*2!))*1/16=3/8

P₆(3)=C³₆*(1/2)³*(1/2)³=(6!/(3!*3!))*(1/8)*(1/8)=5/16

3/8>5/16

@

14. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность что выпадет герб:

А) менее 2-х раз

Б) не менее 2-х раз

P=1/2 q=1/2

1. P₅(m<2)=P₅(0)+P₅(1)=C⁰₅*(1/2)⁰+(1/5)⁵+C¹₅*(1/2)¹ *(1/2)⁴=1/32+5/32=6/32=3/16

2. P₅(m>=2)=P₅(2)+P₅(3)+P₅(4)+P₅(5)=1-P₅(m<2)=

=1-(3/16)=13/16

@

15. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей.

А) 2 мальчика

Б) не более 2-х мальчиков

В) более 2-х мальчиков

Г) не менее 2-х и не более 3-х мальчиков

P=0.51 - вероятность рождения мальчика

P=0.51 q=0.49 n=5

1. P₅(2)=C²₅*0.51²*0.49³=0.31

2. P₅(m<=2)=P₅(0)+P₅(1)+P₅(2)=0.48

3. P₅(m>2)=P₅(3)+P₅(4)+P₅(5)=1-0.48=0.52

4. P₅(2<=m<=3)=P₅(2)+P₅(3)=0.62

@

(на формулу пуасона)

16. Найти вероятность того, что событие А наст. Равно 70 раз в 243 испытаниях. Если вероятность появления этого события равно 0.25

P=0.25 q=0.75

m=70 n=243

P_n(m)=

@

17. Найти вероятность того, что событие А наступает 1400 раз из 2400. Вероятность 0.6

P=0.6 q=0.4

n=2400 m=1400

P₂₄₀₀(1400)=

x=

P₂₄₀₀(1400)=

@

18. Вероятность появления события в каждом из 100 независ испытаний постоянна и равна 0.8 Найти что событие появляется

А) не менее 75 и не более 90

Б) не менее 75 раз

В) не более 74 раз

n=100 p=0.8 q=0.2

1. P₁₀₀(75<=m<=90)=Ф(х₂)-Ф(х₁)

Х₂=

Х₁=

P_n(75<=m<=90)=0.4938 – (- 0.3944)

2. P₁₀₀(75<=m<=100)=Ф(х₂)-Ф(-1.25)=0.5+0.3944=0.8944

Х₂=

С) P₁₀₀(0<=m<=74)=1-P₁₀₀(75<=m<=100)=1-0.8944=0.1056

@

19. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий.

А) ровно 3

Б) менее 3

В) более 3

Г) хотябы 1

n=500 p=0.002

А) P₅₀₀(3)=

b) P₅₀₀(m<3)=P₅₀₀(0)+P₅₀₀(1)+P₅₀₀(2)= =

c) P₅₀₀(m>3)=1-P₅₀₀(m<3)-P₅₀₀(3)=1-0.9197-0.0613=0.019

d) P₅₀₀(хотябы 1)=1-P₅₀₀(0)=1- =0.632

@

20. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании равное 0,4 , чтобы наивероятнейшее число было равно 25.

m₀=25

p=0,4 q=0,6

n - ?

np-q≤m₀≤np+p

0.4n – 0.6≤25≤n*0.4+0.4

0.4n≤25.6 0.4n≥24.6

n≤64 n≥61.5

n=62,63,64

@

21. Чему равна вероятность Р наступления события, в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число равно 30

m₀=30

n=49

p - ?

np-q≤m₀≤np+p

49p-q≤30≤50p

30≤50p 49p-q≤30

p≥0,6 49p-1+p≤30

50p≤31

p≤0,62

0,6≤p≤0,62

@

22. Дискретная случайная величина задана рядом распределения. Найти мат. ожидание, дисперсию, среднеквадратичное. Построить многоугольник.

xi	-1	0	1	2
pi	0,3	0,4	0,2	0,1

M(x)= =(-1)*0,3+0*0,4+1*0,2+2*0,1=0,1

D(x)=M(x-M(x))²= *p_i = (-1-0.1)² * 0.3 + (0.1)² * 0.4 + (1-0.1)² * 0.2 + (2-0.1)² * 0.1 = 0.363 + 0.004 + 0.162 + 0.361 = 0.89

(x)= =0.94

( D(x) всегда «+» )

D(x)=M(x²)-M²(x)=(-1)²*0.3+0²*0.4+1²*0.2+2²*0.1-

(0.1)²=0.9-0.01=0.89

@

23. Найти мат. ожидание, D(z), если дано M(x)=5, M(y)=3, D(x)=2, D(y)=4

1. z=3x+y

2. z=4x-2y

a) M(z)=M(3x+x)=M(3x)+M(y)=3M(x)+M(y)=

=3*5+3=18

D(z)=D(3x+x)=D(3x)+D(y)=9D(x)+D(y)=9*2+4=22

b) M(z)=M(4x-2y)=M(4x)-M(2y)=4M(x)-2M(y)=

=4*5-2*3=26

D(z)=D(4x-2y)=16D(x)+4D(y)=16*2+4*4=48

@

24. Игральная кость подбросили 3 раза. Составить закон распределения ДСВ  значениям которой является число раз появления грани с 6:

а) таблично

б) графически

в) аналитически

г)найти функцию распределения F(x); построить график. M(x), D(x),(x) - ?

n=3 p=1/6 q=5/6

a)

xi	0	1	2	3
pi	125/216	75/216	15/216	1/216

P(0)=q³=(5/6)³=125/216

P(1)=P₃(1)=C₃¹*1/6*(5/6)²=3*25/216=75/216

P(2)=P₃(2)=C₃²*(1/6)²*(5/6)^3-2=3*5/216=15/216

P(3)= (1/6)³=1/216

б )

в) аналитический

P(=k)=C₃^k * (1/6)^k * (5/6)^3-k

k=0.3

г) функция распределения

xi	pi	xi*pi	xi^2	xi^2*pi	Fi
0 1 2 3	0.6 0.35 0.07 0.005	0 0.35 0.14 0.015	0 1 4 9	0 0.35 0.28 0.045
	1	0.505		0.675

M(x)=0.505

D(x)= x_i²*p_i-(x_i*p_i)²=0.675-(0.505)²=0.42

(x)= =0.65

M(x)=n*p=3*(1/6)=0.5

D(x)=npq=3*(1/6)*(1/5)=15/36=0.42

Построим F_i :

F(x)=P(<x)

F(0)=P(<0)=0

F(1)=P(<1)=0.6

F(2)=P(<2)=P(=0)+P(=1)=0.6+0.35=0.95

F(3)= P(<3)= P(=0)+ P(=1)+ P(=2)=

= 0.6+0.35+0.07=1.02

@

СВ задана плотностью распределения вероятности

Найти а) а - ?

б) F(x) - ?

в) графики

а)

2a=1

a=1/2

б)

x≤0 :

0<x≤ :

x≥ :

@

25. Дан ряд распределения ДСВ X. Вычислить М(х), Д(х), (х), М(z),Д(z), (z) если =3х-y

M(y)=3, (y)=4

x_i 12 17 20 21 24

p_i 0.2 0.3 0.1 0.3 0.1