Решение

M(x)= = x_i*p_i=12*0.2+17*0.3+20*0.1+21*0.3+24*0,1=

=21*0.3+24*0.1=2.4+5.1+2+6.3+2.4=18.2

D(x)=M(X-M(x))²= (x_i-M(x))²*p_i=(12-18.2)²*0.2+(17-18.2)²*0.3+(20-18.2)²*0,1+(21-18.2)²*0.3+(24-18.2)²*0,1=7.688+0,432+0,324+2,352+3,364=14,16

(x)= = =3,76

M(y)=3; Z=3x-y; => y=3x-z

(y)=4

M(z)=M(3x-y)=3M(x)-M(y)=3*18.2-3=51,6

D(z)=D(3x-y)=D(3x)+D(y)=9D(x)+D(y)=9*14,16+D(y)=127,44+D(y)

D(y)= ²(y)=4²=16

D(z)=127,44+16=143,44

26. Вероятность сдачи экзамена для первого студента 0.2, для второго 0.4 для третьего 0.7. Какова вероятность того что:

А)только один сдаст экзамен;

Б)только два сдадут экзамен;

В)все трое студентов сдадут экзамен;

Г)никто не сдаст экзамен;

Д)хотя бы один сдастэкзамен;

Решение:

P₁=0.2 q₁=0,8

P₂=0,4 q₂=0,6

P3=0.7 q₃=0,3

a)P(A₁)=p₁*q₂*q₃+q₁*p₂*q₃+q₁*q₂*p₃=0,468

б) P(A₂)=p_1*p₂*q₃+p₁*q_2*p₃+q₁*p₂*p₃=0.332

в) P(A₃)=p₁* p₂* p₃=0,056

г) P(A₄)=q₁* q₂* q₃ =0,144

д) P(A₅)=1-q₁*q₂*q₃=0,856

27. На сборку машины поступают делаи с 3х автоматов. 1 автомат выпускает 57 деталей, из них 2% брака; второй 23 детали, из них 5%брака ; третий - 40 деталей из них 6% брака

А) какова вероятность того что на сборку поступит бракованная деталь?

Б)На сборку поступит бракованная деталь. Какова вероятность того, что она с 1ого автомата?

P(H₁)=p=0,02 P_H (A₁) ₌0,02 P(H₁)=57/57+23+40

¹

P(H₂)=p=0,05 P_H (A₁) ₌0,05 P(H₂)= --//--//-//

²

P(H₃)=p=0,06 P_H (A₁) ₌0,06

³

A – бракованная деталь

H₁- деталь с 1ого автомата;

H₂- деталь с 2ого автомата;

H₃- деталь с 3ого автомата;

А)P(A)=P(H₁)*P_H1(A)+P(H₂)*P_H2 (A)+P(H₃)*P_H3(A)

P(A)=0,02*0,98/3+0,95/3+0,94/3=0,96

Б)P_A(H₁)=P(H1)*P_H1(A)/P(A)=(1/3*0,98)/0,96=0,34

1. Формула Бернули:

P_n(m)=

,p – вероятность наступающего соб. А

q – вероятность ненаступающ. соб. А

Пример:

28. Вероятность того, что при включении в электрическую цепь электра - лампа не перегорит, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 4-х лампочек перегорит ровно 0, 1, 2, 3, 4.

Решение:

p=0,9 q=0,1

P₄(0)= ;

P₄(1)= ;

P₄(2)= ;

P₄(3)= ;

P₄(4)= ;

Построим график зависимости P_n(m) от m:

Этот график получил название «полигон» или многоугольник распределения вероятности:

P_n(m)

m @

2. Наивероятнейшее число наступления соб. в

n – испытаниях:

m₀ – наивероятнейшее наступление соб. А в n – независимых испытаниях, если вероятность Pn(m0) этого числа max. (P_n(m₀)=max P_n(m), 0<=m<=n)

Если n 0, p 1, p 0, то:

m₀ находится по формуле:

n*p-q<=m₀<=n*p+p

Пример:

29. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет шара регистрируют, а потом шар возвращают в урну. Найти наивероятнейшее число появления белого цвета.

Решение:

n=14

p=

q= , а потом по формуле:n*p-q<=m₀<=n*p+p. @

3. Локальная теорема Лапласа:

0<p<1, число испытаний n достаточно велико, то

Pn(m) , x= , (x) - функция Гаусса(смотрится в таблице «дифференциальная функция Лапласа»).

Пример:

30. Фабрика выпускает 75% изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что среди выбранных наугад 400 деталей, изделий высшего качества будет 290.

Решение:

p=0,75 q=0,25

P₄₀₀(290)

x=

P₄₀₀(290)= @

4. Интегральная теорема Лапласа:

P(m₁<=m<=m₂)=

x₂= x₁=

- интегр. ф-я Лапласа.

Пример:

31. По результатам налоговых проверок, каждое второе малое предприятие нарушает финансовые дисциплины. Найти вероятность того, что среди 1000 зарегистрированных малых предприятий нарушения имеют от 480 до 540.

Решение:

n=1000; p=0,5; q=0,5

P(480<=m<=540)=

X₂=

X₁=

P₁₀₀₀=(480<=m<=540)=0.4943+0.3971=0.8914 @

4. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях:

P(m1<=m<=m2)=Ф(x2)-Ф(x1)

X1= X2=

5. Формула Пуассона:

Если p – очень мало; n – велико; n*p= =const, то вероятнее того, что в n-испытаниях событие А появится ровно m раз приближенно равна:

Pn(m)=

Пример:

32. Вероятность того, что во время эпидемии гриппа человек заболеет, в среднем равна p=0.003. Найти вероятность того, что среди выбранных 300 человек больных гриппом окажется 2.

Решение:

p=0.003

n=300

m=2

=n*p=0.003*300=0.9

P₃₀₀(2) @

1. Вероятность того, что первый студент (из 3-х сдающих экзамен) сдаст экзамен ровно 0,8, что второй 0,9, а третий 0,6. Найти вероятность того, что:1. только один студент сдаст экзамен;

2. все три студента сдадут экзамен;

3. ни один не сдаст экзамен;

4. хотя - бы один сдаст экзамен.

2. Для сигнализации об аварии установили 2 независимо работающих сигнализации. Вероятность того, что при аварии сигнализация сработает 0,95 – для первого сигнализатора и 0,9 – для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

3. Студент разыскивает в 3-х справочниках формулу. Вероятность того, что формула содержится в 1-ом, 2-ом и в 3-ем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7, и 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится:

1. только в одном справочнике;

2. только в двух случаях;

3. во всех 3-х справочниках;

4. хотя – бы в одном.

4. В ящике 10 одинаковых шаров: 6-черных, 4-белыхю По очереди вынимают 2 шара, при этом:

1. один шар в ящик возвращают;

2. не возвращают.

Найти вероятность извлечения во второй раз черного шара.

5. В электра - цепь последовательно включены 3 элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,1, 0,15, и 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.

6. Пусть n-стрельцов стреляют по цели. Вероятность попадания для каждого из них составляет 0,6. Сколько стрельцов должны стрелять, чтобы с надежностью не меньше 0,95 цель была поражена?

7. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных на 3–х разных заводах. Вероятность брака деталей в первой коробке равна 0,1, во второй – 0,05, а в 3-ей – 0,2.

1. какова вероятность вытащить качественную деталь?

2. взятая на удачу деталь оказалась качественной, какова вероятность, что она со 2-ой коробки?

8. Готовясь к экзамену, студент выучил 60 из 80 вопросов программы. Экзаменационный билет состоит из 3-х вопросов. Найти вероятность того, что в выбранном билете студент знает:

1. все 3 вопроса;

2. только 2 вопроса;

3. ни один вопрос.

9. Cо складов поступила продукция с 3-х заводов: с 1-го 30%, со 2-го 45% и с 3-го 25%. Вероятность брака на 1-ом составляет 3%, на 2-ом - 2% и на 3-ем – 4%. Найти вероятность того, что на угад взятое изделие стандартно.

10. Есть 2 урны с шарами. В первой урне 2 белых и 3 черных шара, во второй – 7 белых и 6 черных шара. Из первой урны переложили 1 шар во вторую урну, затем из второй урны вынули 1 шар. Определить вероятность того, что этот шар окажется белым.

11. По результатам проверки контрольных работ оказалось, что в 1-ой группе получили 20 студентов из 30-ти положительные оценки. А во 2-ой группе – 15 из 25.

1. найти вероятность того, что на удачу выбранная работа имеет положительную оценку;

2. эта работа написана студентом 1-ой группы.

12. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом номер 1; 2 коробки, изготовленные заводом номер 2. Вероятность того, что деталь , изготовленная заводом номер 1 стандартная 0,8. Найти вероятность того, что взятая на удачу деталь оказалась стандартной.

13. Два равносильных шахматиста играют в шахматы что вероятнее выиграть : 2 партии из 4-ч или 3 партии из 6

14. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность что выпадет герб:

А) менее 2-х раз

Б) не менее 2-х раз

15. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей.

А) 2 мальчика

Б) не более 2-х мальчиков

В) более 2-х мальчиков

Г) не менее 2-х и не более 3-х мальчиков

P=0.51 - вероятность рождения мальчика

16. Найти вероятность того, что событие А наст. Равно 70 раз в 243 испытаниях. Если вероятность появления этого события равно 0.25

(на формулу пуасона)

17. Найти вероятность того, что событие А наступает 1400 раз из 2400. Вероятность 0.6

18. Вероятность появления события в каждом из 100 независ испытаний постоянна и равна 0.8 Найти что событие появляется

А) не менее 75 и не более 90

Б) не менее 75 раз

В) не более 74 раз

19. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий.

А) ровно 3

Б) менее 3

В) более 3

Г) хотябы 1

20. Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании равное 0,4 , чтобы наивероятнейшее число было равно 25.

21. Чему равна вероятность Р наступления события, в каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число равно 30

22. Дискретная случайная величина задана рядом распределения. Найти мат. ожидание, дисперсию, среднеквадратичное. Построить многоугольник.

23. Найти мат. ожидание, D(z), если дано M(x)=5, M(y)=3, D(x)=2, D(y)=4

3. z=3x+y

4. z=4x-2y

24. Игральная кость подбросили 3 раза. Составить закон распределения ДСВ  значениям которой является число раз появления грани с 6:

а) таблично

б) графически

в) аналитически

г)найти функцию распределения F(x); построить график. M(x), D(x),(x) - ?

25. Дан ряд распределения ДСВ X. Вычислить М(х), Д(х), (х), М(z),Д(z), (z) если =3х-y

M(y)=3, (y)=4

26. Вероятность сдачи экзамена для первого студента 0.2, для второго 0.4 для третьего 0.7. Какова вероятность того что:

А)только один сдаст экзамен;

Б)только два сдадут экзамен;

В)все трое студентов сдадут экзамен;

Г)никто не сдаст экзамен;

Д)хотя бы один сдастэкзамен;

27. на сборку машины поступают делаи с 3х автоматов. 1 автомат выпускает 57 деталей, из них 2% брака; второй 23 детали, из них 5%брака ; третий - 40 деталей из них 6% брака

А) какова вероятность того что на сборку поступит бракованная деталь?

Б)На сборку поступит бракованная деталь. Какова вероятность того, что она с 1ого автомата?

28. Вероятность того, что при включении в электрическую цепь электра - лампа не перегорит, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 4-х лампочек перегорит ровно 0, 1, 2, 3, 4.

29. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет шара регистрируют, а потом шар возвращают в урну. Найти наивероятнейшее число появления белого цвета.

30. Фабрика выпускает 75% изделий высшего сорта. Найти вероятность того, что среди выбранных наугад 400 деталей, изделий высшего качества будет 290.

31. По результатам налоговых проверок, каждое второе малое предприятие нарушает финансовые дисциплины. Найти вероятность того, что среди 1000 зарегистрированных малых предприятий нарушения имеют от 480 до 540.

32. Вероятность того, что во время эпидемии гриппа человек заболеет, в среднем равна p=0.003. Найти вероятность того, что среди выбранных 300 человек больных гриппом окажется 2.

40