- •Интегральные характеристики индивидуального объема жидкости
- •Полная производная по времени от интегральной характеристики индивидуального объема
- •Контрольная поверхность
- •4.2. Закон сохранения массы
- •4.3. Закон изменения количества движения
- •4.4. Закон о изменения кинетической энергии
- •Расходомер Вентури
- •Уравнение Бернулли для линии тока идеальной несжимаемой жидкости
- •Трубка Пито-Прандтля
- •4.5. Закон изменения полной энергии
- •Распределение температуры в трубопроводе. Формула в.Г.Шухова.
- •4.6. Закон изменения момента количества движения
- •Уравнение л.Эйлера для насоса
- •5. Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме
- •5.1. Интегральная теорема Гаусса-Остроградского
- •5.2. Дифференциальное уравнение неразрывности
- •5.3. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
- •5.4. Течение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера
- •5.5. Течение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье-Стокса
- •6. Размерность величин и подобие явлений
- •6.1. Размерные и безразмерные величины
- •Первичные (основные) и вторичные (производные) единицы измерения
- •6.2. Формула размерности.
- •Доказательство формулы размерности
- •6.3. Основной вопрос теории размерности
- •6.4. Размерно-зависимые и размерно-независимые величины
- •6.5. Доказательство основной теоремы теории размерности ( теорема Букингема)
- •6.6. Пример: движение вязкой жидкости в цилиндрических трубах
- •6.7. Подобие и моделирование физических явлений
- •Критерии подобия и техника моделирования
Доказательство формулы размерности
Сформулируем вопрос: всегда ли формула размерности имеет вид степенного одночлена (6.1)? Оказывается всегда. Для доказательства этого утверждения проведем следующие расуждения. Пусть имеются, например, три исследователя , и , изучающие одно и то же явление, но пользующиеся различными единицами измерения для физических параметров , определяющих это явление:
При этом положим, что масштабы единиц измерения у этих наблюдателей связаны между собой следующим образом:
Тогда единицы измерения наблюдателя Д связаны с единицами измерения наблюдателя А формулами
.
Пусть все исследователи , и измеряют одну и ту же физическую величину и получают для нее из-за различия единиц измерения а1, а2,…аn три различные значения: АВ, АС и АД. Пусть далее функция переменных показывает, во сколько раз изменяется значение , если единицы измерения наблюдателя изменить соответственно в раз. Тогда значения АВ, АС и АД и должны быть связаны следующими формулами:
и, следовательно,
(6.3)
С другой стороны (если перейти от единиц измерения первого наблюдателя к единицам измерения третьего наблюдателя), должно выполняться равенство
. (6.4)
Поскольку физическая величина не может зависеть от промежуточных систем единиц измерения, то функция должна удовлетворять следующему функциональному уравнению
,
которое получается путем сравнения равенств (6.3) и (6.4).
Не останавливаясь на деталях решения этого функционального уравнения, скажем, что существует единственная функция, ему удовлетворяющая:
,
где — произвольные действительные числа [ ].
Таким образом, при изменении единицы измерения в раз величина меняется в раз, при изменении 2 в раз величина меняется в раз и т.д. Значит, величина имеет размерность
,
что и доказывает формулу размерности (6.2).
6.3. Основной вопрос теории размерности
Пусть рассматривается физическое явление, математическая запись которого представляет собой зависимость определяемого параметра от некоторых величин , характеризующих это явление:
. (6.5)
Заметим, что, с одной стороны, аргументы этой зависимости, в общем случае являются размерными величины, то есть их численные значения зависят от выбора система единиц измерени. Выбрав за исходную другую систему единиц, получим другие значения аргументов функции . Следовательно, за счет изменения системы единиц измерения, можно произвольно изменять численные значения аргументов функции ƒ.
С другой стороны, вид функции ƒ не должен зависеть от выбора системы единиц измерения, поскольку эта функция выражает физическую закономерность, не связанную с тем, какой наблюдатель ее изучает и какой системой единиц при этом пользуется. Значит должна существовать такая запись этой зависимости, которая не зависит от выбора единиц измерения, или, как говорят, инвариантна по отношению к нему. Ясно, что такая запись должна содержать только безразмерные величины.
Теорема, доказывающая возможность записи всякого соотношения между размерными величинами, выражающего физическую закономерность, в безразмерном инвариантном виде, была доказана Букингемом и называется теоремой.