- •Интегральные характеристики индивидуального объема жидкости
- •Полная производная по времени от интегральной характеристики индивидуального объема
- •Контрольная поверхность
- •4.2. Закон сохранения массы
- •4.3. Закон изменения количества движения
- •4.4. Закон о изменения кинетической энергии
- •Расходомер Вентури
- •Уравнение Бернулли для линии тока идеальной несжимаемой жидкости
- •Трубка Пито-Прандтля
- •4.5. Закон изменения полной энергии
- •Распределение температуры в трубопроводе. Формула в.Г.Шухова.
- •4.6. Закон изменения момента количества движения
- •Уравнение л.Эйлера для насоса
- •5. Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме
- •5.1. Интегральная теорема Гаусса-Остроградского
- •5.2. Дифференциальное уравнение неразрывности
- •5.3. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
- •5.4. Течение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера
- •5.5. Течение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье-Стокса
- •6. Размерность величин и подобие явлений
- •6.1. Размерные и безразмерные величины
- •Первичные (основные) и вторичные (производные) единицы измерения
- •6.2. Формула размерности.
- •Доказательство формулы размерности
- •6.3. Основной вопрос теории размерности
- •6.4. Размерно-зависимые и размерно-независимые величины
- •6.5. Доказательство основной теоремы теории размерности ( теорема Букингема)
- •6.6. Пример: движение вязкой жидкости в цилиндрических трубах
- •6.7. Подобие и моделирование физических явлений
- •Критерии подобия и техника моделирования
6.4. Размерно-зависимые и размерно-независимые величины
Прежде, чем перейти к доказательству основной теоремы теории размерности, введем понятия о размерно-зависимых и размерно-независимых величинах.
Говорят, что величина a размерно-зависима от величин , если размерность величины a выражается через размерности этих величин по формуле
, (6.6)
т.е. существуют такие действительные числа , ,… , что равенство (6.6) выполняется. Если же таких чисел не существует, то величина a размерно-независима от величин .
Например, время t, длина l, масса m - размерно-независимые величины. Система величин: скорость, динамическая вязкость, время — также система размерно-независимых величин. Это ясно, например, из того, что в размерность вязкости входит масса, и поэтому она не может выражаться через скорость и время. Время и скорость также не могут выражаться по размерности одна через другую, поскольку в размерность скорости входит длина. Можно привести еще много примеров систем размерно-независимых величин.
Приведем пример размерно-зависимых величин. Например, давление - это величина, размерно-зависимая от динамической вязкости, ускорения свободного падения и длины. Действительно, размерность давления можно выразить через размерности трех остальных величин – вязкости, ускорения и длины. Для этого запишем размерности всех величин через размерности основных единиц:
Будем искать такие числа , и , чтобы выполнялось равенство
.
Подставив в это равенство размерности выбранных единиц через размерности основных единиц, получим
.
Приравняв показатели степеней одинаковых размерностей в правой и левой частях последнего равенства, придем к системе трех линейных уравнений
для определения трех величин , и . Эта система имеет единственное решение: . Таким образом, находим
,
что и доказывает утверждение: давление размерно-зависимо от вязкости, ускорения и длины.
Если имеется система размерных величин , то из нее всегда можно выделить подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин: , где ≤ . Делается это так. Берется величина a1. Если она — размерная величина, то к ней добавляется величина a2. Если a2 имеет размерность отличную от размерности a1 то система {a1,a2} состоит из размерно-независимых величин. После этого к системе величин {a1,a2} добавляется величина a3. Если размерность a3 выражается по формуле размерности через размерности величин a1 и a2, то берется величина a4. Если же размерность a3 не выражается через размерности величин a1 и a2, то система { } представляет собой систему размерно-независимых величин. Таким образом, перебирав все величины, входящие в систему , построим подсистему, содержащую максимальное число размерно-независимых величин.
Заметим, что если размерности всех величин выражаются через размерности L, T и M, то в такой системе имеется не более трех размерно-независимых параметров.