- •Интегральные характеристики индивидуального объема жидкости
- •Полная производная по времени от интегральной характеристики индивидуального объема
- •Контрольная поверхность
- •4.2. Закон сохранения массы
- •4.3. Закон изменения количества движения
- •4.4. Закон о изменения кинетической энергии
- •Расходомер Вентури
- •Уравнение Бернулли для линии тока идеальной несжимаемой жидкости
- •Трубка Пито-Прандтля
- •4.5. Закон изменения полной энергии
- •Распределение температуры в трубопроводе. Формула в.Г.Шухова.
- •4.6. Закон изменения момента количества движения
- •Уравнение л.Эйлера для насоса
- •5. Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме
- •5.1. Интегральная теорема Гаусса-Остроградского
- •5.2. Дифференциальное уравнение неразрывности
- •5.3. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды
- •5.4. Течение идеальной жидкости. Уравнения Эйлера
- •5.5. Течение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье-Стокса
- •6. Размерность величин и подобие явлений
- •6.1. Размерные и безразмерные величины
- •Первичные (основные) и вторичные (производные) единицы измерения
- •6.2. Формула размерности.
- •Доказательство формулы размерности
- •6.3. Основной вопрос теории размерности
- •6.4. Размерно-зависимые и размерно-независимые величины
- •6.5. Доказательство основной теоремы теории размерности ( теорема Букингема)
- •6.6. Пример: движение вязкой жидкости в цилиндрических трубах
- •6.7. Подобие и моделирование физических явлений
- •Критерии подобия и техника моделирования
5. Уравнения гидромеханики в дифференциальной форме
В предыдущих разделах рассматривалось применение общих теорем механики системы материальных точек к подвижному объему жидкости, то есть объему сплошной среды, состоящему из одних и тех же частиц. Основные законы механики — закон сохранения массы, закон изменения количества движения, закон изменения энергии, сформулированные в виде соотношений (4.1-4.3) и (4.43), называют уравнениями динамики среды в интегральной форме.
Важно иметь в виду, что подвижный объем , фигурирующий в этих формулах, произвольный. Если использовать это обстоятельство, то из соотношений (4.1-4.3) и (4.49) можно получить намного больше информации, чем это было сделано до сих пор, при рассмотрении некоторых задач гидравлики. В основе получения такой информации лежит известная из курса математического анализа теорема о том, что если интеграл от непрерывной функции , вычисленный по любой произвольной области , равен нулю, то в этой области тождественно равна нулю подынтегральная функция , то есть из равенства
( — произвольный объем) следует равенство
.
Таким образом, если между гидродинамическими параметрами сплошной среды существуют интегральные соотношения, справедливые для любого объема , то в каждой точке пространства, занятого этой средой, должны существовать соотношения между локальными значениями этих параметров, т.е. значениями, вычисленными в этой точке. Такие соотношения, как будет показано ниже, дают систему дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Примером могут служить дифференциальные уравнения движения сплошной среды в напряжениях (1.30), полученные в гл. 1.
5.1. Интегральная теорема Гаусса-Остроградского
Получение дифференциальных уравнений гидромеханики из законов сохранения, записанных в интегральной форме, основано на теореме Гаусса-Остроградского.
Пусть компоненты некоторого непрерывно дифференцируемого векторного поля ; произвольная гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем пространства V и имеющая, внешнюю нормаль . Тогда имеет место равенство
. (5.1)
Иными словами, теорема Гаусса-Остроградского позволяет преобразовать интеграл по поверхности в интеграл по объему , ограниченному этой поверхностью.
Поскольку интеграл
называют потоком вектора через поверхность , а сумму трех частных производных
,
вычисленных в точке - дивергенцией вектора , то поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему , заключенному внутри нее.
Для бесконечно малого объема , заключающего в себе точку , справедлива формула
или
. (5.2)
Если вектор представляет скорость жидкости, то поток вектора через замкнутую поверхность имеет смысл объема жидкости, вытекающей (если ) или втекающей (если ) из объема , ограниченного этой поверхностью, в единицу времени. Рассчитанный на единицу объема пространства он имеет смысл увеличения (если ) или уменьшения (если ) объема жидкости («дивергенция» буквально означает «расхождение») в каждой точке пространства. Таким образом, понятен смысл дивергенции вектора как скорости изменения объема жидкости в данной точке пространства. В частности, для несжимаемой жидкости, суммарный объем которой внутри замкнутой поверхности неизменен, в каждой точке пространства, ограниченного этой поверхностью.