1.2. Из истории логики

Вклад в развитие логики внесли: Р.Декарт (фр. 1596 - 1650), Г.В.Лейбниц (нем. 1646-1716), М.В.Ломоносов (1711-1765), И.Кант (нем.1724-1804), А. Де Морган (англ.1806-1871), Дж. Буль (англ. 1815-1864), Г.Фреге (амер.1848-1925), А.А.Марков (1903-1979) и многие другие ученые.

 

В своем развитии логика прошла ряд этапов. Современную логику часто называют символической или математической логикой. У истоков современной логики стоит Г. Лейбниц, выдвинувший идею представить логическое доказательство как вычисление, подобное вычислению в математике. Он же обосновал необходимость создания универсального логического языка, который в отличие от естественного языка мог бы точно и однозначно выражать различные понятия и отношения, быть своего рода алгеброй человеческого мышления, позволяющей получать из уже известных истин новые истины путем точных вычислений.

Итак, предметом исследования науки логики является человеческое мышление. Мышление всегда осуществляется в каких-то формах. В логике выделяют следующие формы мышления: понятие, суждение, умозаключение.

Например: "апельсин", "трапеция", “белизна”, "река Нил", "ураганный ветер", "студент медицинского института" – это понятия.

Понятие – форма мышления, в которой отражаются существенные отличительные признаки предметов.

Существенными называются такие признаки, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а все вместе взятые достаточны, чтобы с их помощью отличить (выделить) данный предмет (явление) от всех остальных и обобщить однородные предметы в множество.

Высказывание (суждение, утверждение) – форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах, или отношениях.

НАПРИМЕР, “Этот апельсин вкусный”, “Если прошел дождь, то на улице весна”, “На Луне живут лунатики, а на Марсе марсиане”.

Высказывание выражается в форме повествовательного предложения. Высказывания бывают простыми и сложными. Например, "наступила весна" – простое высказывание, а высказывание "наступила весна и прилетели грачи" – сложное, состоящее из двух простых. Всякое высказывание, может быть либо истинным, либо ложным по своему содержанию.

Содержание высказывания – это то, о чем идет речь в этом высказывании, его смысл. Одно и то же высказывание для разных людей может восприниматься как истинное или ложное в зависимости от взглядов, жизненного опыта, особенностей национальной культуры, воспитания, образования и т.д.

НАПРИМЕР, для кого-то истинным является, что “Свободу, безопасность, комфорт дают глубокие знания”, а для кого-то – “Свободу, безопасность и комфорт дают большие деньги”.

Умозаключение – форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.

Еще в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения.

"Все люди смертны. Сократ – человек. Следовательно, Сократ смертен"

 

1.3. Алгебра высказываний

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке Г.В. Лейбниц. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Однако подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж. Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно.

Обозначать высказывания будем большими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А – истинно". Если высказывание Х ложно, то будем писать "Х = 0" и говорить "Х – ложно".

ПРИМЕРЫ

А = "Солнце светит для всех." = 1 – истинное высказывание

В = "Все ученики любят информатику" = 0 – ложное высказывание

С = "Некоторые из учеников любят информатику." = 1

Д = "А ты любишь информатику?" – не высказывание, т.к. не является повествовательным предложением

 Е = "Посмотри в окно." – не высказывание, т.к. является побудительным предложением

Ж = "Х * Х < 0" = 0 – ложное высказывание, т.к. какое бы Х мы не взяли произведение Х*Х будет неотрицательным

З = "2 * Х - 5 > 0" – не высказывание, т.к. для некоторых значений Х это выражение будет верным, а для других – нет.

И = "Крокодилы летают очень низко" – высказывание.

Последний пример показывает, что высказывания не обязательно должны быть истинными с точки зрения здравого смысла. Вопрос о том, летают или не летают крокодилы, могут волновать зоологов, но никак не логиков, так как им этот потрясающий факт безразличен. Логическая наука интересуется весьма своеобразно понимаемой истинностью или ложностью высказываний: под логическим высказыванием понимается определенное утверждение, которое может быть доказано или опровергнуто.

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в алгебре действительных чисел, в логике определены операции сложения, деления, возведения в степень над числами). Мы  рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них (табл.1).

Таблица 1

Сводная таблица логических функций двух переменных

Значение Х	0	0	1	1
Значение Y	0	1	0	1
	Значение функции				Название функции	Обозначение функции
Функция 0	0	0	0	0	константа 0	F = 0
Функция 1	0	0	0	1	конъюнкция	F = X  Y
Функция 2	0	0	1	0	отрицание импликации XY	F= (X  Y)
Функция 3	0	0	1	1	переменная Х	F = X
Функция 4	0	1	0	0	отрицание импликации YX	F= (Y  X)
Функция 5	0	1	0	1	переменная Y	F = Y
Функция 6	0	1	1	0	отрицание эквивалентности	F= (X  Y)
Функция 7	0	1	1	1	дизъюнкция	F= X V Y
Функция 8	1	0	0	0	отрицание дизъюнкции	F= (X V Y)
Функция 9	1	0	0	1	эквивалентность	F = X  Y
Функция 10	1	0	1	0	отрицание Y	F = Y
Функция 11	1	0	1	1	импликация YX	F = Y  X
Функция 12	1	1	0	0	отрицание Х	F = X
Функция 13	1	1	0	1	импликация XY	F = X  Y
Функция 14	1	1	1	0	отрицание конъюнкции	F = (X  Y)
Функция 15	1	1	1	1	константа 1	F = 1