12 Аспекты математической модели

При построении ММ реальное явление упрощается, схематизируется и полученная схема описывается в зависимости от сложности явлений с помощью того или иного математического аппарата.

От правильности учета в модели характерных черт рассматриваемого процесса зависят успех исследования и ценность полученных результатов моделирования. В модели должны быть учтены все наиболее существенные факторы, влияющие на процесс, и вместе с тем она не должна быть загромождена множеством мелких, второстепенных факторов, учет которых только усложнит математический анализ и сделает исследование либо чрезмерно громоздким, либо вообще нереализуемым.

Метод математического моделирования применяют при изучении свойств процессов, для которых имеется достаточно точное математическое описание. В зависимости от степени полноты математического описания можно выделить два предельных случая: а) известны полная система уравнений, описывающая все основные стороны моделируемого процесса, и все числовые значения параметров этих уравнений; б) полное математическое описание объекта отсутствует. Этот второй случай типичен для решения кибернетических задач. При отсутствии достаточной информации об исследуемых явлениях их изучение начинается с построения простейших моделей, но без нарушения основной (качественной) специфики исследуемого объекта.

Как мы уже говорили, математическая модель является системой уравнений математического описания, отражающей сущность протекающих в объекте явлений, для которой определен алгоритм решения, реализован в форме моделирующей программы. Согласно этому определению ММ должна рассматриваться в совокупности трех ее аспектов: смыслового, аналитического и вычислительного.

Смысловой аспект представляет собой физическое описание природы моделируемого объекта.

Аналитический аспект является математическим описанием процесса в виде некоторой системы уравнений, отражающей протекающие в объекте явления и функциональные связи между ними.

Наконец, вычислительный аспект есть метод и алгоритм решения системы уравнений математического описания, реализованные как моделирующая программа на одном из языков программирования.

13 Физическое описание природы объекта

Построение любой ММ начинают с физического описания объекта моделирования. При этом выделяют “элементарные” процессы, протекающие в объекте моделирования, которые подлежат отражению в модели, и формируют основные допущения, принимаемые при их описании. В свою очередь, перечень учитываемых “элементарных” процессов определяет совокупность явлений, описывающих объект, которые включают в математическую модель. В данном случае под “элементарным” процессом понимается физико-химический процесс, относящийся к определенному классу явлений, например массообмен, теплопередача и т.д. Здесь следует отметить, что название “элементарные” процессы отнюдь не означает, что данные процессы являются простейшими и описываются несложными уравнениями. Так, массообмен является предметом целой теории, до настоящего времени еще далекой до полного завершения. Это название означает лишь, что такие процессы являются составляющими много более сложного всего химико-технологического процесса.

Обычно при математическом моделировании объектов химической технологии принимаются во внимание следующие “элементарные” процессы: 1) движение потоков фаз; 2) массообмен между фазами; 3) теплопередача; 4) изменение агрегатного состояния (испарение, конденсация и т.д.); 5) химические превращения.

Полнота математического описания “элементарных” процессов в модели зависит от их роли во всем химико-технологическом процессе, степени изученности, глубины взаимосвязи “элементарных” процессов в объекте и желаемой точности всего описания. Взаимосвязь “элементарных” процессов может быть чрезвычайно сложной. Поэтому на практике часто делают различные допущения относительно характера связей, что позволяет избежать необходимости введения в модель недостаточно изученных зависимостей и, следовательно, излишнего усложнения описания.

Например, при физическом описании процесса ректификации смесей выделяют следующие “элементарные” процессы: 1) гидродинамика потоков жидкости и пара в колонне; 2) массообмен между жидкостью и паром; 3) теплопередача между жидкостью и паром; 4) испарение жидкости и конденсация пара. Все указанные “элементарные” процессы протекают либо на ректификационной тарелке, либо в насадочной части колонн и прямо связаны между собой. Только описание гидродинамики потока жидкости на тарелке с помощью уравнения Навье-Стокса представляет собой задачу большой вычислительной сложности. Не менее сложно и решение задачи полного описания массообмена между потоками жидкости и пара. Вместе с тем эти задачи должны решаться совместно как единая система уравнений. Отсюда следует, что без разумных упрощающих допущений здесь не обойтись. Поэтому обычно принимают идеализированное представление относительно движения потоков пара и жидкости(пар движется в режиме полного вытеснения, а жидкость полностью перемешивается на тарелке), а массопередачу выражают через эффективность разделения, определяемую в большинстве случаев полуэмпирическими методами, либо вообще не рассматривают ее, считая, что на каждой стадии разделения достигается равновесие.