16 Состав математического описания

Формально математическое описание представляет собой совокупность зависимостей, связывающих различные переменные процесса в единую систему уравнений. Среди этих соотношений могут быть уравнения, отражающие общие физические закономерности (например, законы сохранения массы и энергии), уравнения, описывающие “элементарные” процессы, ограничения на переменные процесса и т.д. Кроме того, в состав математического описания входят также различные эмпирические и полуэмпирические зависимости между разными параметрами процесса, теоретическая форма которых неизвестна или слишком сложна.

В частности, при отсутствии или весьма ограниченном объеме теоретических сведений о моделируемом объекте, когда неизвестен даже ориентировочный вид соотношений, описывающих его свойства, уравнения математического описания могут представлять собой систему связывающих выходные и входные переменные эмпирических зависимостей, полученных в результате статистического обследования действующего объекта (экспериментальный метод составления математического описания). Эти модели обычно имеют вид регрессионных соотношений между входными и выходными переменными объекта и, разумеется, не отражают физическую сущность объекта моделирования. Это затрудняет обобщение результатов, получаемых при их применении.

В отличие от моделей, основанных на регрессионных соотношениях, математические модели, построенные на основе аналитического метода составления описания, отражают основные закономерности процесса и качественно более правильно характеризуют его даже при наличии недостаточно точных параметров модели. Поэтому с их помощью можно изучать общие свойства объектов моделирования, относящихся к определенному классу.

В составе математического описания, разработанного на основе физической природы моделируемого объекта, можно выделить следующие группы уравнений:

1. Уравнения сохранения массы и энергии, записанные с учетом гидродинамической структуры движения потоков. Данная группа уравнений характеризует распределение в потоках температуры, концентраций и связанных с ними свойств. Обобщенное уравнение материального баланса имеет вид

Приход вещества – Расход вещества = Накопление вещества. (1.5)

Разность между приходом и расходом вещества равна изменению его количества в рассматриваемом объекте. В стационарном режиме не может происходить ни убыль, ни накопление. В этом случае уравнение (1.5) переходит в уравнение материального баланса вида

Приход вещества = Расход вещества. (1.6)

Уравнения (1.5), (1.6) применяются как к каждому веществу в отдельности, так и ко всей совокупности веществ, участвующих в процессе.

Обобщенное уравнение теплового баланса имеет вид

Приход теплоты – Расход теплоты = Накопление теплоты (1.7)

или для стационарных условий

Приход теплоты = Расход теплоты. (1.8)

Если в процессах энергетические эффекты не только тепловые, то тогда в условиях (1.7), (1.8) следует учесть работу.

2. Уравнения элементарных процессов для локальных элементов потоков. К этой группе относятся описания процессов и массо- и теплообмена, химических реакций и т.д.

3. Теоретические, полуэмпирические или эмпирические соотношения между различными параметрами процесса. Таковы, например, зависимость коэффициента массопередачи от скоростей потоков фаз, зависимость теплоемкости смеси от состава и т.д.

4. Ограничения на параметры процесса. Например, при моделировании процесса ректификации многокомпонентных смесей на любой ступени разделения должно выполняться условие, что сумма концентраций всех компонентов равна 1. Кроме того, концентрация любого компонента должна находиться в диапазоне от 0 до 1.

Общим для всех математических моделей является то, что число уравнений, включаемых в математическое описание, должно быть равно числу переменных, находимых в результате моделирования.

Математические модели, в которых нестационарные дифференциальные уравнения, описывающие изменения во времени переменных с малым временем релаксации, заменены стационарными уравнениями, можно назвать квазистационарными.