4 Требования к математическим моделям

Опыт создания и использования САПР позволяет сформулировать ряд требований, которым должно удовлетворять математическое обеспечение САПР, и в частности, математическая модель. К ММ предъявляются требования точности, экономичности, универсальности.

Под т о ч н о с т ь ю понимают степень совпадения значений параметров реальных объектов и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Э к о н о м и ч н о с т ь ММ определяется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти).

Под у н и в е р с а л ь н о с т ь ю ММ понимается возможность ее применения к однородным проектируемым объектам без существенной перестройки ММ.

Перечисленные требования не являются в целом совместно выполнимыми, например, требования точности и экономичности противоречивы. Так повышение точности ММ, как правило, достигается за счет увеличения числа учитываемых факторов, а это приводит к возрастанию количества переменных модели и соотношений между ними. Последнее неизбежно ведет к увеличению затрат как машинного времени, так и требуемой памяти. Поэтому приходится искать компромисс между указанными требованиями.

5 Классификация математических моделей

Рассмотрим основные типы математических моделей, применяемые в САПР.

Структурные топологические и геометрические модели применяются для отображения взаимного расположения элементов в пространстве и их взаимодействия (компоновка оборудования), для представления формы проектируемого объекта и его составных частей.

Функциональные ММ устанавливают связи между входными, выходными, режимными, управляющими параметрами с помощью функциональных зависимостей, неравенств, вероятностных зависимостей и т.п.

В зависимости от способа построения функциональные ММ подразделяются на теоретические и экспериментальные (эмпирические). В основе получения теоретических ММ лежат фундаментальные физические законы: закон сохранения массы, энергии и т.д. В том случае, если физическая сторона процессов неизвестна или недостаточно изучена, получают экспериментальные модели на основе изучения только входных и выходных параметров моделируемого объекта, рассматриваемого в виде “черного ящика”.

Функциональные ММ по форме связей между параметрами модели разделяют на аналитические и алгоритмические. Аналитические ММ имеют форму функциональных зависимостей определяемых параметров от других параметров модели. В алгоритмических моделях такая зависимость выполнена неявно, она описана в виде некоторого алгоритма, например, она может включать в себя семейство численных значений с некоторого графика (номограммы).

Особенности входящих в ММ уравнений позволяют выделить среди них линейные и нелинейные модели.

В зависимости от конкретной реализации процесса и его аппаратурного оформления все многообразие химико-технологических процессов можно разделить на четыре класса исходя из временного и пространственного признаков: процессы, переменные во времени (нестационарные), и процессы, не меняющиеся во времени (стационарные); процессы, в ходе которых их параметры изменяются в пространстве, и процессы без пространственного изменения параметров. Так как математические модели являются отражением соответствующих объектов, то для них характерны те же классы, а именно: 1) модели, неизменные во времени, - статические модели; 2) модели, переменные во времени, - динамические модели; 3) модели, неизменные в пространстве, - модели с сосредоточенными параметрами; 4) модели, изменяющиеся в пространстве, - модели с распределенными параметрами.

При проектировании сложных объектов используются функциональные ММ в основном следующих видов:

1. ММ в форме дифференциальных уравнений в частных производных (распределенные модели). Такие модели отражают процессы, протекающие в общем случае непрерывно в трехмерном пространстве и времени. Примерами распределенных моделей могут служить:

уравнение теплопроводности при моделировании теплотехнических и других устройств, связывающее изменение температуры в пространстве и времени со свойствами среды;

уравнение диффузии при процессах, связанных с массообменом;

уравнение неразрывности при моделировании задач гидродинамики (при определении полей скоростей, давлений, плотности);

Распределенные ММ чаще используются при проектировании элементов многих технических устройств: аппаратов, турбин, компрессоров, интегральных схем и т.д.

2. ММ в форме обыкновенных дифференциальных уравнений (сосредоточенные модели).

В случае, когда распределенные модели приобретает громоздкий вид и их решение представляет большие трудности, переходят к разбиению объектов на участки и усреднению переменных в пределах участка. Это позволяет перейти к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

3. ММ в форме алгебраических уравнений. Используются для анализа статического состояния объекта проектирования.

4. ММ в форме логических уравнений (например, в схемах ЭВМ, автоматики и т.д.).

Использование принципов блочно – иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро-, макро- и метауровнями.

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро- и метауровням.

Особенностью ММ на макроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне – дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т. п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояния укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т.п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок приближается к 10³, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов чем на макроуровне.

В ряде предметных областей удается использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройства цифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи. В результате ММ становиться системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические модели существенно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровне составляют модели массового обслуживания применяемые для описания процессов функционирования информационных вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов. Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. При этом низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей, на высших иерархических уровнях используются топологические модели.

По степени детализации описания в пределах каждого иерархического уровня выделяют полные ММ и макромодели.

Полная ММ – модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т. е. Состояния всех элементов проектируемого объекта).

Макромодель – ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшего числа межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупненном выделении элементов.