1.Роль и место математики в современной науке.

Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. Основные принципы построения и преподавания всех этих наук применимы и к математике. Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. Огромное социальное значение вычислений (и компьютерные технологии, основанные на вычислениях). Тот прискорбный факт, что с прекращением военного противостояния математика, как и все фундаментальные науки, перестала финансироваться, является позором для современной цивилизации, признающей только "прикладные" науки. Прикладные научные исследования – это такие исследования, которые используют достижения фундаментальной науки, для решения практических задач. Результатом исследования: создание и совершенствование новых технологий. На самом деле никаких прикладных наук не существует и никогда не существовало, как это отметил более ста лет назад Луи Пастер (которого трудно заподозрить в занятиях, не нужных человечеству).  Опыты с янтарем и кошачьим мехом казались бесполезными правителям и военачальникам XVIII века. Но именно они изменили наш мир после того, как Фарадей и Максвелл написали уравнения теории электромагнетизма. Эти достижения фундаментальной науки окупили все затраты человечества на нее на сотни лет вперед.  Математическое сообщество несет свою долю ответственности за повсеместно наблюдаемое давление со стороны правительств и общества в целом, направленное на уничтожение математической культуры как части культурного багажа каждого человека и в особенности на уничтожение математического образования. Формализованное преподавание математики на всех уровнях сделалось, к несчастью, системой. Выросли целые поколения профессиональных математиков и преподавателей математики, умеющих только это и не представляющих себе возможности какого-либо другого преподавания математики.

2.Предмет математики. Основные этапы развития. 1.1. Предмет математики

Два подхода к определению предмета математики. Согласно Ф. Энгельсу, "чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира ". Нельзя считать полным определением математики, поскольку в нем нет указаний ни на метод, ни на цели изучения математики.

Второй подход отражает методологические установки Н.Бурбаки. Бурбаки также определяют не математику, а только объекты, которые она исследует.

По Н. Бурбаки, математика — это "скопление математических структур", не имеющих к действительности никакого отношения. Следует сказать, что этот взгляд на математику разделялся многими учеными,которые считали, что определение Ф. Энгельса уже устарело.

1.2. Академик А.Н. Колмогоров выделил четыре основных периода развития математики.

Период зарождения до VI-V вв. до н. э., т. е. до того времени, когда математика становится самостоятельной наукой. Еще за три тысячелетия до новой эры вавилоняне умели решать квадратные уравнения и знали теорему, которая ныне носит название теоремы Пифагора. Древние владели достаточно большим набором не связанных между собой правил и формул для решения многих практических задач: измерение земельных участков, составление календарей, строительство и т. Д.

Второй период развития математики — период элементарной математики: от VI-V вв. до н. э. до XVI в. н. э. включительно. Математика как логический вывод и средство познания природы — творение древних греков (VI-V вв. до н. э.). А.Н. Колмогоров считает, что изменение характера математической науки можно объяснить более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, характеризовавшейся высоким развитием диалектики, искусством ведения спора. У греков к этому времени сложилось определенное миропонимание того, что Природа устроена рационально, а все ее явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Пифагорейцы (VI в. до н. э.) усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых соотношениях. Число для них было первым принципом в описании природы, оно же считалось материей и формой мира. Начала дедуктивного, аксиоматического метода были заложены также древнегреческими математиками.

Третий период — период создания математики переменных величин (XVII, XVIII вв., начало XIX в.) знаменуется введением переменных величин в аналитической геометрии Р. Декарта (1596-1650) и созданием дифференциального и интегрального исчисления в трудах И. Ньютона(1642-1727) и Г. Лейбница (1646-1716).

4 . Во второй половине XIX в., когда была создана теория действительного числа, стало возможным построить все здание математического анализа на строго логической основе. Накопленный в XVII и XVIII вв. огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Вторая особенность этого периода в развитии математики связана со значительным расширением области ее приложений, усиленным вниманием к вопросам ее обоснования, критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), к построению строгой системы определений и доказательств.

3.Аксиоматический метод. сущность аксиоматического метода состоит в том, что все объекты исследования достигшие уровня зрелости достаточного для оформления в теорию прибегают к аксиоматическому методу. Это можно описать следующим образом: 1. Строится абстрактная теория. В ее основании лежат термины двоякого рода: одни обозначают элементы одного или нескольких множеств, другие - отношения между элементами. Этим терминам пока не приписывается содержательный смысл. Устанавливаются аксиомы которым должны удовлетворять термины. Из аксиом выводятся теоремы. 2. Терминам абстрактной теории приписывается содержательный смысл. Теперь они выражают понятия имеющие наглядное, осязательное содержание. Система полученная путем приписывания содержательного смысла абстрактной теории называется моделью или интерпретацией этой теории. благодаря аксиоматическому методу решается проблема непротиворечивости полноты и независимости системы аксиом; появляется новый взгляд на аксиоматическую теорию как бессодержательную формально-логическую систему; изменил представления о геометрии как полуэмпирической науке.

4.Геометрия евклида. Неевклидовая геометрия. евклид – крупнейший геометр древности воспитанник школы платона жил в египте. Составленные им «начала» дают систематическое изложение начал геометрии: выполнено на таком научном уровне что многие века преподавание геометрии велось по его сочинению. «начала» состоит из 13 книг: 1-6 планиметрия, 7-9 арифметика в геометрическом изложении, 10 – несоизмеримые отрезки, 11-13 стереометрия. замечания: в «начала» были включены не сведения; каждая книга начинается с определения тех понятий которые в ней встречаются. Евклид приводит предложения принимаемые без доказательства разделяя их на постулаты(5) и аксиомы(7). Однако он не указывает в чем различия между ними. Недостатки системы евклида: 1. Многие понятия включают такие понятия которые в свою очередь должны быть определены 2. Список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем. 3. Постулат 4 лишний его можно доказать как теорему. неевклидовая геометрия. Геометрические системы отличающиеся от евклидовых называются неевклидовыми геометриями. Лобачевский открыл новую геометрию – геометрию лобачевского. Геометрия лобачевского имеет важное значение для абстрактной математики как одна из возможных геометрий. Лобачевский был первым но не единственным сделавшим вывод о существовании другой геометрии. Гаусс высказал эту идею в частных письмах но официальных заявлений не делал. После публикации результатов лобачевского вышла работа Бойяи так же о существовании другой геометрии. Гильберт в 1899 на основе аксиоматики евклида разработал свою которая состояла из 5 групп ( аксиомы связи порядка равенства непрерывности параллельности).

5.Понятие множества. Диаграммы элера-венна. множество – совокупность каких-либо объектов. Объекты входящие в данное множество называются элементами множества. Элементами множества могут быть самые разнообразные предметы (буквы числа точки). Множества состоящие из конечного числа элементов называются конечными а состоящие из бесконечного числа – бесконечные. Множества обычно обозначаются большими буквами а их элементы маленькими. (хеХ элемент принадлежит множеству Х). совокуплость допустимых объектов называют основным множеством. Множество задают либо перечислением его элементов либо описанием свойств множества. диаграмма Эйлера — Венна - геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом.