- •1.Роль и место математики в современной науке.
- •6.Действия с множествами. Свойства действий.
- •9.Постоянные и переменные величины. Предел.
- •10.Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
- •11. Производная функции: определение, геометрический и физический смысл.
- •13. Приложения производной (на примере).
- •14. Элементы логики. Алгебра логики.
- •16. Предмет и задачи теории вероятности. Области применения методов теории вероятностей.
- •17. Основные элементы теории вероятностей. Случайные события: понятия, виды случайных событий.
- •18. Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.
- •19. Теорема сложения несовместных событий.
- •21. Теорема умножения вероятностей независимых событий.
- •27. Дискретные и непрерывные случайные величины(определения, примеры). Функция распределения
- •28. Характеристики распределения случайной величины.
9.Постоянные и переменные величины. Предел.
Предел - это важнейшее понятие в мат, оно опирается на интуитивное представление о процессе изменения и неограниченного приближения. Суть метода пределов состоит в том, что для определения неизвестной величины находится ее приближение(неограниченное число). Если становится все более точными и отличными от определенной величины все мен и мен , то сама величина обозначается как предел.
lim — это первые три буквы латинского слова limes, которое и озна-
чает «предел». Слово limes для обозначения предела впервые употребил
И. Ньютон, символ lim ввел французский ученый С. Люилье в 1786 г., а выражение lim первым записал англичанин У. Гамильтон в 1855 г.Применение математики к изучению законов природы и к использованию их в технике заставило ввести в математику понятие переменной величины, и в противоположность ей, понятие постоянной величины.
Переменные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса могут принимать различные значения
Постоянные величины — это такие величины, которые в условиях данного вопроса сохраняют неизменные значения.
Одни и теже величины в условиях одного вопроса могут быть постоянными, а в другом переменными.
Например Температура T кипения воды в большинстве физических вопросов — величина постоянная T=100°C. Однако в тех вопросах, где нужно считаться с изменением атмосферного давления, T величина переменная.
Различие постоянных и переменных величин особенно часто применяется в высшей математике. В элементарной математике основную роль играет разделение величин на известные и неизвестные. Последнее сохраняется и в высшей математике, но не играет там основной роли.
Переменные величины как правило обозначаются последними буквами латинского алфавита x, y, z. А постоянные — первыми a, b, c.
10.Бесконечно малые и бесконечно большие величины.
Понятие бесконечно малых и бесконечно больших величин играет важную роль в математическом анализе. Многие задачи просто и легко решаются используя понятия бесконечно больших и малых величин. Бесконечно малые.Переменная называется бесконечно малой, если для любого существует такое значение , что каждое следующии за ним значение будет по абсолютной величине меньше . Если - бесконечно малая то говорят, что стремится к нулю, и пишут: .Бесконечно большие. Переменная x называется бесконечно большой, если для всякого положительного числа cсуществует такое значение , что каждое следующее за ним x будет по абсолютной величине больше . Пишут: Величина, обратная к бесконечно большой, есть величина бесконечно малая, и обратно.
11. Производная функции: определение, геометрический и физический смысл.
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен). 1) Физический смысл производной.
Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .
2) Геометрический смысл производной.
Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .
Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.
Касательной к кривой в точке называется предельное положение секущей , если точка стремится к , двигаясь по кривой.
Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная.
12. Основные правила дифференцирования. Дифференцирование элементарных функций. 1) Производная константы равна нулю, т.е , где C – константа.
2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е 3) Производная произведения находится по правилу: .
4) , где - константа.
5) Производная дроби находится по правилу: .
6) Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке , то сложная функция имеет производную в точке , причем (правило дифференцирования сложной функции).
7) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке , причем . Если существует обратная функция , то она имеет производную в точке и (производная обратной функции).