- •Введение в предмет колебания и волны.
- •Решение однородных волновых уравнений в случае выделенного направления распространения волны. Плоские волны.
- •Волновое уравнение в гидрогазодинамике.
- •Плоские волны в гидрогазодинамике.
- •Уравнения Максвелла.
- •Волновое уравнение в электродинамике.
- •Плоские эмв и их свойства.
- •Плоские гармонические волны.
- •Плоские неоднородные волны.
- •Закон сохранения энергии в гидрогазодинамике.
- •Закон сохранения энергии в электродинамике.
- •Метод комплексных амплитуд при гармонической зависимости от времени векторов эм поля. Вектор Пойтинга в комплексной форме.
Волновое уравнение в гидрогазодинамике.
Среда описывается параметрами:
- плотность; - давление; - скорость.
Уравнение состояния жидкости в неподвижной Эйлеровой СО определяется уравнением:
, где – 2 закон Ньютона
– уравнение непрерывности сплошной среды.
Предположим
S – энтропия.
Если S=const то P=f().
Имеем 4 уравнения:
, , ,
Будем считать, что волновой процесс связан с малыми изменениями параметров сплошной среды, т.е. в линейном приближении
P0, U0, 0 – стационарные параметры среды.
;
Разложим P=f()в ряд Тейлора в окрестности точки P0 и ограничимся приближением первого порядка малости.
=> , где
Рассмотрим
Исходное уравнение имеет вид:
- волновое уравнение в сплошной среде.
- волновое уравнение относительно изменения U и P.
В сплошной среде:
=>
Нетривиальным решением является: - звуковой потенциал в акустике.
, ,
=>
- волновое уравнение в акустике.
Рассмотрим v2: ; - уравнение состояния сплошной среды в адиабатическом приближении.
- фазовая скорость.
В линейном приближении фазовая скорость определяется постоянными величинами.
Плоские волны в гидрогазодинамике.
Будем считать, что в сплошной среде распространяется только прямая волна.
; ;
В случае выделенного направления распространения волны
, где , – модуль скорости.
,
Тогда
- волновое сопротивление или импеданс в акустике.
Если существует 2 волны – прямая и обратная:
- аналог длинных линий.
Волны, для которых параметры среды (фазовая скорость, волновое сопротивление) зависят только от постоянных величин, называются простыми.
В линейной недиссипативной среде простые волны распространяются без изменения формы.
Уравнения Максвелла.
- закон ЭМ индукции
Фарадея
-
закон Ампера для полного тока
-
электрический закон Гаусса -
магнитный закон Гаусса
- плотность тока проводимости.
В не очень сильных полях удовлетворяется закон Ома.
iстор – плотность тока, возбуждающего ЭМВ.
- плотность магнитного тока смещения.
- плотность электрического тока смещения.
- объемная плотность заряда.
1 и 2 уравнения независимы. 3 и 4 получаются из первых 2.
К этим уравнениям добавляются уравнение непрерывности тока.
, где
Для решения уравнений Максвелла для конкретной среды необходимо математическое уравнение, устанавливающее зависимость между индукциями и напряженностью полей.
Атомы и молекулы вещества, под действием электрического поля могут быть поляризованы. Свойства поляризованной среды определяются вектором поляризованности P.
Вектор электрического смещения или индукции определяется следующим образом.
, где - абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума или электрическая постоянная.
В не очень сильных электрических полях
Xэ – диэлектрическая восприимчивость среды.
Намагниченные тела представляют собой частный случай тел, переносящих электрические заряды, в которых система диполей имеет преимущественную ориентацию осей. Магнитные свойства среды определяются вектором намагниченности, или магнитным моментом единицы объема.
Вектор магнитной индукции или магнитного смещения имеет следующий вид: , где
0 – абсолютная магнитная проницаемость вакуума, или магнитная постоянная.
В не очень сильных магнитных полях
Xм – магнитная восприимчивость среды.
, - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды.
, - абсолютная магнитная проницаемость среды.
Тогда к уравнениям Максвелла надо присоединить: и - материальные уравнения для линейной изотропной среды.
Линейной называется среда, для которой связь между индукциями и напряженностями полей линейна.
Среда называется изотропной, в случае если электрические параметры среды (диэлектрическая, магнитная проницаемость и показатель преломления) не зависит от напряженности вхождения в среду ЭМВ.
Анизотропными называются среды, электрические свойства которых зависят от напряженности распространения в ней волны. Различают гироэлектрическую и гиромагнитную анизотропные среды.
Для гироэлектрической среды диэлектрическая проницаемость является тензорной величиной, а магнитная проницаемость - скалярной. Примерами гироэлектричной среды являются: электронная плазма, находящаяся в постоянном магнитном поле; кристаллооптическое вещество и т.д.
Для гиромагнитной среды магнитная проницаемость является тензорной величиной, а диэлектрическая проницаемость - скалярной. Примерами гиромагнитной среды является: пирит, помещенный в постоянное магнитное поле.
Для гироэлектричной среды:
,
,
Для гиромагнитной среды: , ;
Интегральная форма уравнений Максвелла.
Размерность величин: