Два квантора

Символ (x) читается как «для каждого x или для всех x» и называется квантором всеобщности.

Символ (x) означает «существует по крайней мере один x» и называется квантором существования.

Ни ни никогда не фигурируют одни;  всегда выступает как часть выражений (x), (y) и т.д., а  - как часть выражений (x), (y и т.д. Так как выражения (x), (y), (x) и т.д. являются неразделимыми элементами, лучше называть кванторами эти выражения, а не  и .

Кванторы обычно находятся в начале предложения, за исключением тех случаев, когда предложение начинается с оператора отрицания.

Каждый квантор «связывает» переменные, которые находятся далее в предложении. Так (x) связывает переменную x, а (y) применяется к переменной y.

Пусть F означает «иметь четыре ноги», а H – (есть) лошадь.

Тогда (x) (Hx -> Fx) означает: «Для всех x если x есть лошадь, то x имеет четыре ноги». Фигурирующий в (x) «x» связывает «x» в (Hx -> Fx).

Если предложение содержит только имена собственные, то кванторы не нужны, поскольку предполагается, что каждое имя собственное называет только один предмет. Так что в некотором смысле имена собственные привносят собственную квантификацию. Но если предложение содержит переменные, то эти последние должны быть «исчислены».

Множественность кванторов: в предложении кванторов может быть сколько угодно; см. далее, в «Примерах формализации» (примеры 4, 7 и 8).

Переменные

Символы x, y, z указывают на неопределенные предметы. Они применяются для формализации выражений «что-то», «что-нибудь», «кто-то».

Одна и та же переменная указывает на один и тот же объект, о котором идет речь. Так, принято считать, что в выражениях типа «x (есть) толстый и x (есть) сердитый» речь идет об одном и том же человеке. Разные переменные обычно указывают на разные вещи, но возможно также, что в выражениях с разными переменными вопрос о количестве обозначаемых вещей намеренно оставляется открытым.

Множественность: переменные всегда должны быть квантифицированы. В одном предложении может фигурировать сколько угодно квантифицированных переменных, см. далее, в «Примерах формализации» (примеры 4, 7 и 8).

Скобки

При простых предикатах скобки не нужны. Но в некоторых случаях скобки необходимы для уточнения области применимости предикатов.

Примеры формализации

1. Имена и свойства

Пусть -> -> означает «преобразовать в»,

F означает «(есть) толстый»,

G – «(есть) жадный»,

p – «Питер».

Формализуем поэтапно:

«Питер – толстый и жадный» означает то же самое, что «Питер – толстый» и «Питер – жадный». Квантор здесь не требуется, поскольку Питер – имя собственное.

«Питер (есть) толстый и жадный». -> -> Fp & Gp.

Существование

Пусть H означает «лошадь», а C – «кентавр».

«Лошадь существует» означает: «Существует по крайней мере одна вещь, которая есть лошадь».

-> -> (xx

Кентавры не существуют значает: «Неверно, что существует по крайней мере одна вещь, которая есть кентавр». -> -> (y) (Gy).

3. «Что-то» и «кто-то»

Положим, Вы хотите сказать на языке исчисления предикатов, что кто-то (Вы не знаете кто) толстый и жадный. Формализация потребует применения кванторов, поскольку «кто-то» указывает на неопределенные вещи. Необходима только одна переменная, поскольку имеется только один «кто-то»

Формализуем поэтапно:

«Кто-то (есть) толстый и жадный»

-> -> «Есть кто-то такой, что он (она) толстый, и такой, что он (она) жадный».

-> -> «Существует по крайней мере один x, такой, что x – толстый и жадный»

-> -> (xFx & Gx).