4. Множественность кванторов и переменных

Пусть «x = y» означает «x есть та же самая вещь (человек), что и y».

Рассмотрим предложение «Кто-то (есть) толстый, и кто-то (есть) жадный». Оно двусмысленно, поскольку могло бы означать или «есть один человек, который и толстый, и жадный» или «есть два человека, один из который – толстый, а другой – жадный». Первый вариант означает, конечно, то же самое, что «Кто-то (есть) толстый и жадный»; это последнее уже было формализовано выше.

Второе предложение можно проанализировать так: «Существует кто-то толстый, и существует кто-то жадный, причем первый отличается от второго».

В этом случае понадобятся две переменных, так как в предложении фигурируют два разных человека, обозначаемых как «кто-то».

Формализуем поэтапно:

«Существует кто-то толстый, и кто-то (другой) жадный».

-> -> Существует кто-то толстый, и существует кто-то жадный, причем первый отличается от второго.

-> -> «Существует некий x, и существует некий y, причем x толстый и y жадный, и неверно, что x = y.

-> -> (x(y) [Fx & Gy &  (x = y)].

Здесь мы «сложили» (x и (y).

5. Устранение неясности

В обычном контексте предложение «Кто-то (есть) толстый, и кто-то (есть) жадный» вполне может оказаться двусмысленным. Выше было показано, каким образом символический язык исчисления предикатов позволяет разграничить и различить два возможных значения этого предложения. Однако возможно, разумеется, избавиться от двусмысленности обычного языка средствами самого обычного языка.

Воспользуемся хорошо известным примером неясной области применения предиката – предложением «Каждый любит кого-то».

Оно может означать или «Каждый любит того или другого человека (например, собственную мать)», или «Каждый любит какого-то одного человека (например, принца Чарльза)».

Допустим, L символизирует «любит», а переменные x и y – «людей».

Первая интерпретация такова: «Для каждого x существует некий y, такой, что x любит y».

-> -> (x) (y) Lxy.

Вторая интерпретация такова: «Существует какой-то (один) y, такой, что каждый x любит y».

-> -> (y) (x) Lxy.

Кажется, что два этих преобразования одинаковы, и разница между ними заключается лишь в порядке. Но если перевести эти формализованные предложения обратно на обычный естественный язык, то станет очевидно, что их значения различны.

6. Отрицание

«Ни один» есть квантор обычного языка и одновременно один из кванторов, используемых Аристотелем. Исчисление предикатов можно осуществить без специального отрицательного квантора, поскольку в нем применяется оператор отрицания пропозиционального исчисления. С помощью этого оператора отрицания и кванторов (x) и (x мы можем конструировать разные смыслы «ни один», имеющиеся в (правильном) естественном языке.

Рассмотрим два примера: «Не все – плохи» и «Ни один человек – не плох».

Допустим, B означает «(есть) плохой».

«Не все – плохи» означает «Не все люди – плохи».

-> ->  (x) Bx.

«Ни один человек – не плох» означает «Неверно, что есть кто-то плохой».

-> ->  (xx.