7. Множественность и количество

Множественность и единичность формализуются с помощью понятия тождества. Символ «=» используют для обозначения тождества. Таким образом, x = y означает «x тождественен y», а (x = y) означает «Неверно, что x тождественен y».

В обычном языке предложение «Некоторые вещи ужасны» обычно означает «По крайней мере две вещи ужасны». Допустим. Нам нужно выразить на языке исчисления предикатов предложение обычного языка «Некоторые вещи ужасны». Т.е. «По крайней мере две вещи ужасны».

Положим, G означает «(есть) ужасный».

В данном исчислении символ (x означает «есть по крайней мере один x». Этот квантор должен быть использован для формализации фразы «по крайней мере две вещи ужасны».

Нам надо сказать следующее: «Есть по крайней мере один x и есть по крайней мере один y, такие что x ужасен и y ужасен и x не есть y».

Мы складываем кванторы, вводим отрицание и получаем: (x (y) (Gx & Gy &  [x = y]), что означает: «Есть по крайней мере один x и есть по крайней мере один y, такие, что x есть G и y есть G и x не есть y».

Тот же принцип можно использовать для формализации выражений вроде «По крайней мере три вещи отвратительны», «По крайней мере четыре вещи ужасны» и т.д. Для выражения «по крайней мере две вещи» необходимы две переменные, для выражения «по крайней мере три вещи» - соответственно три и т.д. (Читатели могут попытаться преобразовать выражение «По крайней мере четыре вещи зелены».)

8. «Только один»

Как преобразовать выражение «только одна вещь ужасна?»

Это высказывание эквивалентно «По крайней мере одна вещь ужасна, и максимум одна вещь ужасна», что эквивалентно «По крайней мере одна вещь ужасна, и неверно, что по крайней мере две вещи ужасны».

Это высказывание формализуем следующим образом: (x) Gx &  [(x(y) (Gx & Gy &  {x = y})].

Его можно выразить и так: (x (Gx & [ y) (Gy -> y = x)].

Логика и обычный язык

Между выводами, выраженными на языках логики, и выводами, выраженными в обычных естественных языках. Имеется важное сходство. Ведь общий критерий достоверности дедуктивных выводов в обоих случаях одинаков. Всякий дедуктивный аргумент можно подвергнуть проверке на достоверность. Т.е. на соответствие следующему определению: вывод достоверен, если невозможно чтобы его посылки были истинны, а заключение – ложным.

Отмеченное сходство важно в силу нескольких причин.

Во-первых, поскольку достоверность правильных выводов, выраженных обычным естественным языком, нисколько не уступает достоверности выводов, выраженных языком формальной логике рассуждать логически и без изучения формальной логики.

Во-вторых, хотя современная логика может справиться со много большим количеством видов выводов, чем аристотелевская логика, некоторые типы достоверных выводов ей неподвластны. Хотя точные определения специальных слов, таких как логические константы и кванторы, существенно важны для выводов формальной логики, значение конкретных имен существительных, прилагательных и наречий и т.д. не играет в ней никакой роли. Следовательно, если достоверность вывода зависит от значения конкретного слова обычного языка, то она не может быть выражена на символическом языке современной формальной логики. Формальная логика имеет дело со структурой высказываний или с отношениями между высказываниями, и она только определяет те лингвистические сущности, которые определяют структуру предложений или связывают предложения. Таким образом, формальная логика определяет, например, понятия «скобки», «имя», «предикат», «переменная», «оператор», но не определяет слова вроде «лисица», «лошадь» или «кентавр».

Рассмотрим снова вывод о лисице, упомянутый в гл. 21.

Животное, которое мы видим перед собой, - лисица (vixen); следовательно, это лиса женского пола (female fox).

Достоверность этой (явно тривиальной) дедукции зависит от значений английских слов «лисица» (vixen, самка лисы), «лиса» (fox, вид животного) и «женский пол» (female) и поэтому не может быть продемонстрирована средствами формальной логики. Например, для демонстрации ее достоверности невозможно использовать таблицы истинности. И все же, эта дедукция достоверна, поскольку высказывание «Это животное есть лиса женского пола» не может быть ложным, если истинно высказывание «Это животное – лисица (самка)».