- •Московский инженерно-физический институт Математический анализ Логинов а.С.
- •Глава 1. Введение
- •§1. Некоторые понятия теории множеств и математической логики
- •§2. Комплексные числа
- •§3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел
- •2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества т1.
- •Глава 2. Последовательности
- •§1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям
- •1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности
§2. Комплексные числа
1. Определение комплексного числа
Рассматривается множество упорядоченных пар z = (x, y). Обозначают x = Re z, y = Im z.
В этом множестве два объекта равны z1 = z2 { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.
Геометрическая интерпретация. z можно интерпретировать, как радиус вектор в точку (x,y).
В этом множестве определяются две операции:
Сложение z = (x,y), w = (u,v), z + w = (x + u,y + v).
Умножение zw = ( xu – yv, xv + yu).
Это множество с такими операциями называется множеством комплексных чисел и обозначается C (комплексная плоскость).
2. Свойства комплексных чисел
Ниже перечисленные свойства проверяются исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.
1) z1 +z2 = z1 + z2
2) z1 +( z2 + z3) = (z1 + z2) + z3
3) = (0, 0),z + =z
4) zC - z = (-x,-y): z+(-z) =
Можно доказать
Теорема. - единственный, противоположный дляz также единственен.
5) z1 z2 = z2 z1
6) z1 ( z2 z3) = (z1 z2) z3
7) Для =(1,0) иz: z=z
8) z z-1: z z-1 =
Существование обратного числа. z=(x,y), Будем искать число z-1=(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам xu-yv=1,yu+xv=0 (z z-1 = ).Решая эту систему получим u=x/(x2+y2),v=-y/(x2+y2).
Частное двух комплексных чисел определяется по формуле w/z=wz-1.
9) z1(z2+z3) = z1z2+z1z3
3. Алгебраическая форма записи
Рассмотрим отображение c(x) из R в C: ,где xR,. Множество комплексных чисел (x,0), обозначим . Отображениеc(x) взаимно-однозначно, причем
c(x+y) = c(x)+c(y)
c(xy) = c(x)c(y)
c(0) =
c(1) =
Следствие: c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 или c(1/x)=1/c(x).
Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числамиx. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0) называется вещественной осью.
Мнимая единица. По определению полагают i=(0,1).
Отметим, что x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x,y)=z , таким образом z=(x,y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x,y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0,y)=iy называется мнимой осью.
4.Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.
Некоторые определения и свойства
z=(x,y),
Определение аргумента комплексного числа
Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне (-,]. Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg z = arg z +2k. Если комплексное число не лежит на мнимой оси, то arg z = arctg y/x для первой и четвертой четвертей, arg z = +arctg y/x для второй четверти, arg z = -+arctg y/x для третьей четверти.
Тригонометрическая форма представления комплексного числа
z = x + iy = r( cos + i sin ), (1)
где =Arg z.
Формулы Эйлера. Введем обозначения
ei = cos + i sin , cos = ( ei+e-i)/2, sin = ( ei-e-i)/2.
Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае дается в курсах теории функций комплексного переменного.
Свойства символа ei ei(+) = ei ei, (ei)n=ein
Таким образом z = rei (2)
(1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа
5. Формула Муавра zn=rnein=rn( cos n + i sin n) (3)
Решим уравнение
zn=w, z = rei, w = ei
rnein = ei n = +2k, kZ,r = .Формулы
используются для вычисления корней из комплексного числа.
Замечание: <,> не определены в C.
Лекция 3