§3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

1.Ограниченное множество. Точные грани.

Оганиченное сверху множество E:  b xE: xb

b - верхняя грань множества: xE:xb

Ограниченное снизу множество:  a xE: xa

a - нижняя грань множества: xE: xa

Точная верхняя грань множества: b = sup E 1) (b - верхняя грань) xE: xb

2) ( нет меньшей) >0  xE: x > b-

Аналогично a = inf E, написать определение самостоятельно.

Ограниченное множество

Замечание: Если b = sup E, то -b = inf E , где E- зеркальное к E множество, E = {xR:-xE}

2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества т1.

Т1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть b верхняя грань множества E и aE

a (a+b)/2 b

Обозначим [a₁,b₁] правый из [a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b], имеющий непустое пересечение с E. Отметим свойства этого oтрезка;

1. xE:xb₁

2. E[a₁,b₁]  

Эту процедуру повторим для [a₁,b₁], и т. д.

В результате получим последовательность вложенных отрезков [a_k,b_k], удовлетворяющих свойствам:

3. xE:xb_k

4. E[a_k,b_k]  

Длины этих отрезков b_k-a_k=(b-a)/2^k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число искомое. Действительно:

1) xE: xc

Предположим противное: xE:x>c, возьмем =x-c,n:b_n-a_n<=x-c, тогда b_n - c  b_n - a_n < x - c  b_n < x, что противоречит условию x[a_n,b_n].

2)  xE: x  c - 

Для любого данного  n: b_n - a_n < , в этом случае c -  < a_n  x, что и требуется.

Следствие: У непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Лекция 4

Т2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b₂ , b₁. Положим  = b₂ - b₁ > 0, xE: x > b₂ -  = b₁, что противоречит тому, что b₁ верхняя грань.

Замечание.

1. Точная нижняя грань единственна.

2. Если E неограничено сверху, то пишут sup E = +, аналогично если E неограничено снизу, то пишут inf E = -.

Глава 2. Последовательности

§1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям

1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {a_n} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {a_n}: na_n .

Ограниченность сверху b nN: a_n  b. Такое b называется верхней гранью последовательности {a_n}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у ней существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу a nN: a_n  a. Существует нижняя грань.

Ограниченность c nN: |a_n|  c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)ⁿ}, sin n,

Определение точной верхней грани. b = sup {x_n}:

1. nN: x_n  b ( b есть верхняя грань )

2. >0 nN: x_n > b -  ( никакое меньшее число не является верхней гранью )

Аналогично определяется inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b  sup {x_n}.

Выполнено или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами: или  n N: x_n > b или 2)  >0 nN: x_n  b - 

Монотонно возрастающая последовательность {a_n} .

nN: a_n  a_n+1

Строго монотонно возрастающая последовательность {a_n}.

nN: a_n < a_n+1.

Аналогично даются определения монотонной убывающих последовательностей.

9