Лекция № 6

Дискретные случайные величины и их характеристики

План:

1. Случайные величины и способы их задания

2. Математические операции над случайными величинами

3. Функция распределения дискретной случайной величины

4. Числовые характеристики дискретной случайной величины

1. Случайные величины и способы их задания

Слова случайная величина часто употребляют тогда, ког­да хотят подчеркнуть, что неизвестно, каким будет конкрет­ное значение этой величины, когда неизвестно, какова эта величина. Однако в математике в эти же слова вкладывает­ся вполне определенный смысл. В математическом пони­мании неизвестно, какое значение примет случайная величи­на в данном конкретном случае, но известно, какие значе­ния она может принимать и каковы вероятности тех или иных значений. На основании этих данных невозможно точно предсказать результат одного испытания, связанного с конкретной случайной величиной, но можно весьма на­дежно предсказать совокупность результатов большого числа испытаний. Чем больше испытаний, тем точнее бу­дут предсказания.

Определение 6.1. Случайной величиной называют такую переменную величину, которая под воздействием случай­ных факторов может с определенными вероятностями при­нимать те или иные значения из некоторого множества чисел.

Итак, чтобы задать случайную величину, надо указать, какие значения она может принимать и каковы вероятно­сти этих значений.

Различают дискретные и непрерывные случайные величи­ны. Случайная величина непрерывна, если ее значения мо­гут лежать в некотором континууме возможных значений. (Это предполагает, что их нельзя пересчитать, ставя в соответствие им натуральные числа 1, 2, ...). Значения непре­рывной случайной величины могут лежать на отрезке, ин­тервале, луче и т.д.

Определение 6.2. Случайная величина X называется дис­кретной, если результаты наблюдений представляют со­бой конечный или счетный набор возможных чисел.

Случайная величина включает в себя несколько изолиро­ванных возможных значений, каждое из которых может с определенной вероятностью быть результатом опыта или испытания.

Число возможных значений дискретной случайной ве­личины может быть конечным или бесконечным.

В результате одного испытания случайная величина X принимает одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены.

Например, если в качестве случайной величины рассмат­ривать оценку студента на экзамене, то с определенной ве­роятностью, которая зависит от многих факторов, студент может получить или 2, или 3, или 4, или 5, но в результате сданного одним студентом экзамена в ведомости всегда стоит только одна оценка.

Случайная величина может быть задана законом распре­деления.

Определение 6.3. Законом распределения дискретной слу­чайной величины называют соотношение, устанавливаю­щее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятно­стями.

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискрет­ной случайной величины таблица состоит из двух строк и называется законом или рядом распределения дискретной слу­чайной величины X. Первая строка таблицы содержит воз­можные значения случайной величины, а вторая — соот­ветствующие им вероятности. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины X через х_1; х₂, ..., х_п, а вероятности появления значения x_i через p_i = Р(Х = х_i), то дискретная случайная величина полностью определяется таблицей 6.1.

Таблица 6.1

x	x1	x2	…	x n+1	xn
p	p1	p2	…	pn+1	pn

Значения х₁, х₂, …,х_п записываются в таблице, как пра­вило, в порядке возрастания.

Приняв во внимание, что в каждом отдельном испыта­нии случайная величина принимает только одно возмож­ное значение случайной величины X, заключаем, что собы­тия X = x₁, X = х₂, ..., X = х_п несовместны и образуют пол­ную группу событий. Следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таб­лицы, равна единице:

p₁ + p₂+...+p_n = =1. (6.1)

Табличный способ задания закона распределения исполь­зуется только для дискретных случайных величин.

При графическом задании закона распределения дискрет­ной случайной величины по оси абсцисс откладывают зна­чения случайной величины, а по оси ординат — соответ­ствующие вероятности этих значений. Точки соединяют от­резками прямой и полученный многоугольник называют многоугольником распределения вероятностей или полигоном распределения дискретной случайной величины X (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Полигон распределения дискретной случайной величины