2. Математические операции над случайными величинами

Если X — случайная величина, k = const — постоянная, тогда произведение kX — это новая случайная величина, которая принимает значения, равные произведению значений x₁, x₂, ..., х_п, на постоянную величину k, с теми же вероятностями, что и случайная величина X. Закон распределения случайной величины kX имеет вид:

Таблица 6.2

kX	kx1	kx2	…	kxn
p	p1	p2	…	pn

Квадрат случайной величины X есть новая случайная величина — X², которая принимает значения, равные квадратам x₁, x₂, …, х_п, с теми же вероятностями, что и случайная величина X. Закон распределения случайной величины X² имеет вид:

Таблица 6.3

X^2	x1^2	x2^2	…	xn^2
p	p1	p2	…	pn

Пусть имеются две случайные величины X и Y. X при­нимает значения x_i с вероятностями p_i, а случайная величина Y — значения у_i с вероятностями р.

Сумма случайных величин X + Y — это новая случайная величина, которая принимает все значения вида x_i + у_j (i=1, 2, ..., n; j = 1,2, ..., т) с вероятностями р_ij, выражающими вероятность того, что случайная величина X примет значе­ние х_i, a Y— значение y_j, то есть

p_i,j = P(X=x_i; Y = y_j) = P(X=x_i) P(Y = y_j /X=x_i) (6.2)

Если случайные величины Х и Y независимы, то:

p_i,j= P(X =x_i; Y = y_j) = P(X = х_i,) • P(Y = y_j)= p_i p’_j (6.3)

Закон распределения случайной величины Х+ У имеет вид:

Таблица 6.4

X+Y	x1+y1	x2+y2	…	xn+ym
p	p11	p12	…	pn.m

Разность случайных величин X-Y— это новая случай­ная величина, которая принимает все значения вида x_i - у_j, а произведение XY— все значения вида х_i • у_j. с вероятнос­тями, определяемыми по формуле (6.2), если случайные ве­личины X и Y зависимы, и по формуле (6.3), если они неза­висимы.

Выполняя указанные математические операции над случай­ными величинами, можно строить другие случайные вели­чины и задавать их соответствующим рядом распределения.

3. Функция распределения дискретной случайной величины

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать функцией распределения.

Определение 5.4. Функцией распределения называют функ­цию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее, чем значение аргумента функции — х:

F(x) = P(X<x) = _Pi. (6.4)

Вычисляя функцию распределения дискретной случайной величины для заданного аргумента, суммируют вероятно­сти всех значений случайной величины, которые меньше аргумента функции распределения (лежат левее значения аргумента в ряду распределения).

Функция F(x) есть неубывающая функция, причем:

F(-∞) = 0; F(∞) = l. (6.5)

Построить функцию распределения дискретной случай­ной величины X можно следующим образом:

Рис. 6.2. Функция распределения дискретной случайной величины

Для дискретных случайных величин функция распреде­ления F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерыв­ная слева (см. рис. 6.2).

Часто в задачах требуется определить вероятность того, что случайная величина принимает значения в некотором интервале. Для этого используется формула вероятности попадания случайной величины X в промежуток от α до β (включая α):

P(α ≤ X < β) = F(β) - F(α) (6.7)

Для ответа на вопросы задач и более глубокого понима­ния темы полезно знать следующие формулы:

► Вероятность того, что событие наступит менее т раз («менее т раз» — это «или ноль, или один, или два, ... или т - 1 раз»), равна функции распределения F(X = m) и может определяться по формуле:

F(X = т) = Р(Х < т) = P_n,0 + Р_п,1 + ... + Р_п,m-1 (6.8)

► Вероятность того, что событие наступит не менее т раз, или «хотя бы т раз», или «как минимум т раз», или «т раз или больше», другими словами, «хотя бы два» — это «или два, или три, или четыре, или ...», может опре­деляться по формуле:

Р(Х ≥ т)=Р_п,m + Р_п,т+1+…+Р_п,п (6.9)

или Р(Х ≥ т)= 1 – F(Х = т) = 1 - (Р_п,0 + Р_п,1+…+ Р_п,_т-1).

► Вероятность того, что событие наступит более т раз, («более т раз» — это «или т, или т + 1, или т + 2,... или п раз»), может определяться по формуле:

Р(Х> т)= P_n,m+1 + Р_n,т+1 +... + Р_n,n (6.10)

HimP(X>m) = l-F(X = m + 1) = 1~£Р„₀ + Р_п1 + ... +Р_пт).

► Вероятность того, что событие наступит не более т раз («не более т раз » — это «или ноль, или один, или два,... или т раз»), определяется по формуле:

F(X = m + l) = P(X ≤ m)=P_n,0 + P_n,1 + ... + Р_п,т. (6.11)