- •Кафедра математики, теории и методики обучения математике группы классов вычетов в теории чисел
- •Тобольск – 2012 Содержание
- •Глава I. Основные понятия теории групп
- •Глава II. Аддитивные и мультипликативные группы классов вычетов и их применение в теории чисел
- •Введение
- •Глава I. Основные понятия теории групп
- •1.1. Бинарные операции, их свойства
- •1. 2. Группы и их свойства. Примеры
- •3. Подгруппы и их свойства. Критерий подгруппы. Примеры
- •4. Смежные классы. Теорема Лагранжа
- •Глава II. Аддитивные и мультипликативные группы классов вычетов и их применение в теории чисел
- •2. 1. Нормальные подгруппы. Фактор-группы. Примеры
- •2. 2. Прямое произведение групп
- •2.3. Применение теоретико-групповых методов в теории чисел
- •2. 4. Решение задач Задача 1
- •Список литературы
2. 4. Решение задач Задача 1
Z3 = { }, Z4 = { }. Найти Z3* Z4*, построить таблицу Кэли для умножения Z3* Z4*. Является ли Z3* Z4* абелевой группой? Какой мультипликативной группе классов вычетов она изоморфна?
Решение. 1) Построим таблицу Кэли по сложению для групп Z3 = { },
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z4 = { }
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Z3* = { }, Z4 * = { }. Умножение в Z3* и в Z4 * зададим таблицами Кэли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Прямое произведение групп Z3* Z4 *={( , ),( , ),( , ),( , )}
|
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
( , ) |
4) Элементы таблицы, симметричные относительно диагонали, совпадают, поэтому группа Z3* Z4* является абелевой.
5) Из теории известно, что если (m, n) = 1, то Zm* Zn* Zmn*. Поэтому имеем: (3, 4) = 1 Z3* Z4 * Z12*= { , , , }.
Итак, Z3* Z4 * Z12*= { , , , }.
Задача 2
Найти порядок группы Z5* Z12 *.
Решение. Так как 5 и 12 взаимно простые числа то порядок прямого произведения групп можно вычислить, используя функцию Эйлера. (Если (m, n) = 1, то Zm* Zn * Zmn*)
( 5, 12) = 1 Z5* Z12 * Z60* | Z5* Z12 * | | Z60*|= (60) = 16
Ответ: порядок группы Z5* Z12 * равен 16.
Задача 3
Вычислить: а) -1 в Z7, Z7 = { , , , }, ( )-1= , так как = ;
б) -1 в Z5, Z5 = { , , }, ( )-1= ;
в) -1 в Z13, Z13= { ,… , }, ( )-1 = .
Задача 4
Вычислить класс -1 в Z11 с помощью теоремы Эйлера.
Решение. Теорема Эйлера, если (a, m) 1, то a 1(m) или ( , m) 1, ( ) (mod m)
( , 11) 1, поэтому 7 1(11) или 7 1(11). Тогда 7 7 1(11), поэтому -1 = ( ) . 79 = (72)4 7 54 7 (25)2 7 (3)2 7 9 7 63 8 (11). -1 = .
Заключение
Данная работа относится к наиболее развитому разделу современной алгебры – теории групп. В работе последовательно без логических пробелов изложен весь математический аппарат; рассмотрены основные объекты теории: группы, подгруппы, нормальные подгруппы и фактор-группы, прямое произведение групп; продемонстрировано как теоретико-групповой аппарат можно использовать для доказательства некоторых основных теорем и решения задач теории чисел (доказаны теоремы Эйлера и Ферма, Вильсона, теорема о мультипликативности функции Эйлера). Цель работы можно считать выполненной.
Нами показано взаимодействие в процессе обучения высшей математики, таких фундаментальных математических понятий, как группа и число.
Материалы первой главы можно использовать при изучении раздела «Теория групп», а материалы второй главы доступны для изучения студентами вузов на спецкурсе.