1. Дифференциальное уравнение установившегося плавно изменяющегося движения жидкости

Рассмотрим общий случай уста­новившегося плавно изменяющегося движения жидкости в открытом непризматическом русле (рис. 12.1).

Введем следующие обозначения:

i = sinθ – продольный уклон дна русла;

– внешнее давление, обычно равное ;

Q – расход поток;

 – площадь живого сечения потока;

h – наибольшая глубина потока в данном живом сечении, различная для разных сечений;

 – коэффициент кинетической энергии (Кориолиса);

– средняя скорость в данном живом сечении;

J – гидравлический уклон, обычно принимаемый для открытых русл равным продольному уклону свободной поверхности потока;

– расстояние по вертикали от дна до плоскости сравнения в данном живом сечении.

Руслом с положительным (прямым) уклоном дна принято называть такое русло, у которого абсолютные отметки дна уменьшаются по направлению движения жидкости (то есть вдоль оси l).

Выделим в потоке два сечения 1-1 и 2-2 на бесконечно малом расстоянии dl друг от друга (рис. 12.1).

Составим для выделенных сечений уравнение Бернулли относитель­но плоскости 0-0, проведенной через нижнюю точку живого сечения 2-2:

(12.3)

Раскрывая как , пренебрегаем в силу малости и, заменяя через , получаем после сокращений:

,

где С – коэффициент Шези¹.

Или (12.4)

Заменив среднюю скорость ее выражением через расход и площадь живого сечения , запишем:

(12.5)

Запишем производную с учетом (12.2), как:

Тогда вместо (12.5) получим

или (12.6)

Обращаясь к рис. 12.2, видим, что частная производная равна ширине живого сечения по верху, которую в дальнейшем будем обозначать через В, то есть .

Окончательно получаем

(12.7)

У равнение (12.7) является об­щим дифференциальным уравнением установившегося плавно изменяющегося движения жидкости в открытом русле.

В частном случае призматического русла уравнение (12.7) несколько упрощается, так как в силу ранее сказанного производная равна в этом случае нулю:

(12.8)

После преобразований вычитаемого в знаменателе правой части уравнений (12.7) или (12.8) получим

где – средняя глубина живого сечения.

Таким образом, рассматриваемая дробь представляет собой удвоенное отношение удельной кинетической энергии к удельной потенциальной энергии при средней глубине потока в данном живом сечении. Учитывая это, в дальнейшем будем называть безразмерный комплекс параметром кинетичности потока, обозначая его символом :

(12.9)

Для прямоугольного русла и при α = 1 параметр кинетич­ности представляет собой число Фрунда где за характерный линейный размер живого сечения l принята глубина h.

2. Основные виды установившегося движения жидкости в призматическом открытом русле

Уравнение (12.8) отражает характер изменения глубин потока по его длине в открытом призматическом русле. Предполагается, что само изменение глубин происходит достаточно плавно. Однако при знаменатель стремится к нулю и производная .При этом имеют место особые случаи неплавно изменяющегося движения жидкости, которые не описываются уравнением.

Уравнение (12.8) при может иметь три случая:

> 0 – движение с нарастанием глубин по длине потока, или, как принято говорить, с образованием кривой подпора;

< 0 – движение с уменьшением глубин по длине потока, или с образованием кривой спада;

= 0 – движение с постоянной глубиной по длине потока.

Очевидно, что в первых двух случаях имеет место неравномерное плавно изменяющееся движение жидкости, тогда как третий случай соответствует равномерному движению жидкости.

Уравнение равномерного движения жидкости в открытом русле получается как частный случай уравнения (12.8), а именно:

или (12.10)

В дальнейшем глубину потока, соответствующую равномерному движению, будем называть нормальной глубиной и обозначать ее символом . Тогда уравнение (12.10) перепишем в виде:

(12.11)

где соответствуют нормальной глубине .

Введем понятие расходной характеристики потока . Тогда, вместо уравнения (12.11) имеем:

(12.12)

или