3. Удельная энергия потока и удельная энергия сечения

Остановимся на анализе движения открытого потока с энергетичес­кой точки зрения.

Механическая энергия массы жидкости, протекающей в единицу времени через выбранное живое сечение потока, отнесенная к единице веса и определяемая относительно произвольной горизонтальной плоскости, называется удельной энергией потока и обозначается Е.

При анализе изменения Е вдоль потока последняя должна вычисляться для всех живых сечений относительно единой горизонтальной плоскости.

При плавно изменяющемся движении с учетом ранее сказанного для любой точки живого сечения потока можно записать (см. рис. 12.2):

(12.13)

где под р подразумевается избыточное давление.

Вниз по течению удельная энергия потока Е для установившегося движения должна всегда уменьшаться (dE / dl < 0), так как само движение и происходит за счет расходования этой энергии.

Проведем теперь плоскость сравнения 0-0 не произвольно, а через низшую точку данного сечения ( на рис. 12.2).

Удельную энергию в данном живом сечении, определенную относительно горизонтальной плоскости, проходящей через низшую точку этого сечения, будем называть удельной энергией сечения и обозначать символом Э. Таким образом, имеем:

(12.14)

Понятие об удельной энергии сечения удобно при анализе устано­вившегося движения жидкости в открытом русле. Заметим также, что величина Э вычисляется в каждом живом сечении потока относительно своей горизонтальной плоскости сравнения.

Из (12.13) и (12.14) следует, что:

Тогда, принимая во внимание, что получаем:

(12.15)

или при i > 0:

(12.16)

Из уравнения (12.16) видно, что при равномерном движении dЭ / dl = 0, так как , а при неравномерном движении dЭ / dl > 0 или dЭ / dl < 0 в зависимости от величины отношения .

Смысл последнего положения заключается в том, что при равномерном движении работа силы тяжести полностью расходуется на преодоление сил сопротивления и изменения удельной энергии сечения не наблюдается. Если же , то средняя скорость потока будет меньше, чем при равномерном движении, гидравлические сопротивления уменьшаться и часть работы силы тяжести даст постепенное накопление удельной энергии сечения вниз по течению. При картина будет обратная, то есть на преодоление сопротивлений будет затрачиваться больше энергии, чем может дать работа силы тяжести, и дополнительно требующаяся энергия будет заимствоваться из удельной энергии нижележащих сечений, то есть dЭ / dl < 0.

В заключение отметим, что при i = 0 или i < 0 из равенства (12.12) следует только отрицательное значение производной dЭ / dl.

4. Спокойные и бурные потоки. Критическая глубина

Рассмотрим зависимость удельной энергии сечения Э от глубины наполнения h при заданной форме поперечного сечения русла и при Q = const.

В соответствии с ранее изложенным удельную энергию сечения Э можно рассматривать состоящей из двух частей: и Нетрудно заметить, что тенденция их изменения с изменением h диаметрально противоположна, а именно:

при h→0

при h→∞

С ледовательно, функция Э = f (h) на графике удельной энергии сечения (рис. 12.3) должна иметь вид кривой с двумя ветвями, уходящими в бесконечность при h→0 и при h→∞. При этом отобразится пря­мой – биссектрисой координатного угла, а – некоторой кривой второго порядка.

Линия, характеризующая изменение удельной энергии сечения в зависимости от h, асимптотически приближается к биссектрисе координатного угла и к оси абсцисс и имеет экстремальную точку при некотором значении глубины наполнения.

Глубина потока, при которой удельная энергия сечения для заданного расхода в данном русле достигает минимального значения, называется критической глубиной и обозначается .

Экстремальная точка на графике, соответствующая , делит кривую удельной энергии на две части: верхнюю, где , и нижнюю, где . Соответственно принято различать три состояния потока:

1) спокойное состояние, при котором , а удельная энергия сечения увеличивается с увеличением ;

2) бурное состояние, когда , а удельная энергия с увеличением  уменьшается;

3) критическое состояние при и .

Выявление состояния потока, таким образом, производится путем сопоставления фактического значения с .

Значение критической глубины необходимо не только для определе­ния состояния потока, но и для выполнения ряда гидравлических расчетов, и для анализа в безразмерных координатах результатов исследований.

Для вывода уравнения критического состояния используем, что при , то есть .

Имеем

,

так как ранее было сказано, что ; тогда для призматического русла .

Отсюда

или (12.17)

Уравнение (12.17) называется уравнением критического состоя­ния. Для русла произвольной формы в общем виде оно решается подбором или графоаналитически, для русла правильного поперечного сечения возможны простые решения.

Для прямоугольного русла из (рис. 12.4, а) (12.17) имеем:

(12.18)

где – удельный расход, то есть расход на единицу ширины прямоугольного русла.

Для трапецеидального русла критическая глубина рассчитывается аналитическим способом, предложенным И. И. Агроскиным. На рис. 12.4, б даны следующие обозначения: b – ширина сечения по дну; h – глубина наполнения; m = ctgθ – коэффициент откоса. Тогда:

.

Перепишем уравнение (12.7) в виде

(12.19)

Обозначим безразмерное отношение через . Из (12.19) получим:

или (12.20)

где – критическая глубина в прямоугольном русле с тем же расходом Q и той же шириной по дну, что и у рассматриваемой трапеции.

По аналогии с введем обозначение для прямоуголь­ного русла (m – коэффициент откоса трапеции). Так же (12.19) получим:

(12.21)

Очевидно, что

Задаваясь различными значениями можно получить из (12.21) соответствующие и затем значения отношения h_кр.Т / h_кр. Эти значения сведены в табл. 12.1.

0,005	0,998	0,22	0,931	0,44	0,874	0,80	0,802
0,01	0,997	0,23	0,928	0,45	0,872	0,82	0,799
0,02	0,993	0,24	0,925	0,46	0,869	0,84	0,796
0,03	0,990	0,25	0,922	0,47	0,867	0,86	0,793
0,04	0,987	0,26	0,919	0,48	0,865	0,88	0,789
0,05	0,983	0,27	0,917	0,49	0,862	0,90	0,786
0,06	0,980	0,28	0,914	0,50	0,860	0,92	0,783
0,07	0,976	0,29	0,911	0,52	0,856	0,94	0,780
0,08	0,973	0,30	0,909	0,54	0,852	0,96	0,777
0,10	0,967	0,31	0,906	0,56	0,848	0,98	0,774
0,11	0,964	0,32	0,903	0,58	0,844	1,00	0,771
0,12	0,961	0,33	0,900	0,60	0,839	1,05	0,764
0,13	0,958	0,34	0,898	0,62	0,835	U0	0,757
0,14	0,955	0,36	0,893	0,64	0,831	1,15	0,750
0,15	0,952	0,37	0,890	0,66	0,927	1,20	0,744
0,16	0,949	0,38	0,888	0,68	0,823	1,25	0,737
0,17	0,946	0,39	0,886	0,72	0,816	1,30	0,731
0,18	0,943	0,40	0,884	0,74	0,812	1,35	0,725
0,19	0,940	0,41	0,881	0,76	0,809	1,40	0,719
0,20	0,937	0,42	0,878	0,78	0,806	1,50	0,707
0,21	0,934	0,43	0,876

По найденным h_кр. и определяем h_кр.Т / h_кр. и затем находим h_кр.

Для треугольного русла (рис. 12.4, в) из (12.17) имеем:

(12.22)

Для параболического русла (рис. 12.4, г), описываемого уравнением (р – параметр параболы, имеющий линейную размерность), имеем:

;

,

где – на урезе воды. Тогда:

.

В заключение заметим, что совместное рассмотрение уравнений (12.9) и (12.17) приводит к выводу о равенстве параметра кинетичности единице при критическом состоянии потока, то есть П_к.кр = 1. Таким образом, оценка состояния потока может быть сделана по значению параметра кинетичности, а именно:

П_к < 1 – спокойное состояние потока;

П_к > 1 – бурное состояние потока.