2.2. Системы счисления, используемые в компьютерах

Совокупность названий и знаков, позволяющая записать любое число и дать ему имя, называется системой счисления или нумерацией.

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).

Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

• двоичная (используются цифры 0, 1);

• восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

• шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Таблица 1 - Алфавиты некоторых систем счисления

Основание	Система	Алфавит
2	Двоичная	0, 1
8	Восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10	Десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16	Шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

Таблица 1 - Примеры записи чисел в различных системах счисления

Десятичная система	Двоичная система	Восьмеричная система
0	00000000	0
1	00000001	1
2	00000010	2
3	00000011	3
4	00000100	4
5	00000101	5
6	00000110	6
7	00000111	7
8	00001000	10
9	00001001	11

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине. Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета.

Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах вес цифры (т.е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•10² + 5•10¹ + 7•10⁰ + 7•10^-1 = 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления — это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.

За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2+ ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где a_i – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.

Формы представления чисел:

– свернутой (неявной) форме, для которой не указывается вес разряда;

– развернутой (явной) форме, для которой указывается вес каждого разряда.

Приведем примеры записи чисел в различных системах счисления.

Пример записи числа в десятичной системе счисления:

– в свернутой форме – 287₁₀;

– в развернутой форме

287₁₀ = 2^.10² + 8^.10¹ + 7^.10⁰,

где 10 - основание десятичной системы (обозначено подстрочным индексом).

Пример записичисла в двоичной системе счисления:

– в свернутой форме – 1011₂;

– в развернутой форме

1011₂=1*2³+0*2²+1*2¹+1*2⁰

где 2 - основание двоичной системы (обозначено подстрочным индексом).

Перевод числа из системы с произвольным основанием р в десятичную систему счисления осуществляется с помощью формулы разложения этого числа по степеням основания р.

Например:

110₂ = 1^.2² + 1^.2¹ + 0^.2⁰ = 6₁₀,

110₈ = 1^.8² + 1^.8¹ + 0^.8⁰ = 72₁₀,

110₁₆ = 1^.16² + 1^.16¹ + 0^.16⁰ = 272₁₀,

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой восьмеричной цифры тремя двоичными разрядами – триадой. При обратном переводе каждая группа из трех двоичных разрядов заменяется одной восьмеричной цифрой.

Например:

205₈ = 010 000 101₂ = 10000101₂;

101010110₂ = 101 010 110₂ = 526₈;

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными разрядами – тетрадой. При обратном переводе каждая группа из четырех двоичных разрядов может быть заменена одной шестнадцатеричной цифрой.

Например:

2Е5₁₆ = 0010 1110 0101₂ = 1011100101₂.

1111101101₂ = 0011 1110 1101₂ = 3ЕD₁₆

Для перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно в качестве промежуточной системы удобно использовать двоичную систему.

Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).