- •Вопрос-1 {1-6, к: 1- 13} : квантовая природа электромагнитного излучения. Тепловое излучение
- •1.1 Тепловое излучение и люминесценция {к: 1-2}
- •Вопрос-2 {7-10, к: 13-18}: формула планка
- •Вопрос-4 {10-13, к: 22-27}: эффект комптона
- •Дифракция электронов на двух щелях {к: 31-32}
- •Соотношение неопределённости гейзенберга
- •Применение соотношений неопределённости
- •Основные операторы квантовой механики
- •Вопрос-10: гармонический осциллятор
- •Вопрос-11 {29-31, к: 62-67}: прохождение микрочастицы через потенциальный барьер
- •Вопрос-12 {31-33, к: 68-72}: квантование момента импульса
- •Квантование проекций моментов импульса
- •Фундаментальные взаимодействия
- •Распределение электронов по электронным уровням принцип паули {к: 93-96}
- •Вопрос-20 {47-48, к: 96-100}: периодическая система менделеева
- •Нормальный эффект зеемана {к: 102}
- •Лазеры {к: 106}
- •Квантовая статистика ферми-дирака {к: 114-115}
- •Вопрос-25 {58-59, к: 117-188}: функция плотности состояния
- •Вопрос-29 {62-63, к: 123-126}: электропроводность металлов
- •Эффект джозеферона (1962)
- •Вопрос-31 {67-72, к: 131-138}: элементы зонной теории твёрдых тел
- •В рамках приближения слабой связи рассматривается движение квазисвободных электронов в периодическом поле кристалла.
- •Вопрос-32 {73-75, к: 139-143}: движение электронов в периодическом поле кристалла под действием внешнего поля. Эффективная масса электрона. Понятие о дырках.
Применение соотношений неопределённости
Можно получить результат, не решая уравнения:
Оценка энергии нулевых колебаний гармонического осциллятора: E0; Если бы: Ek=m2/2=P2/2=0 и En=kx2/2 = 0 => координаты и скорость определены => противоречие соотношению неопределённости.
Pxx= , Px~Px , x~x , px= P=/x ;
E=Ek+En=2/2mx2 + kx2/2; dE/dx=(-2)2/2mx3 + kx = 0;
x4=2/mk x2=/sqrt(mk); Emin=sqt(mk)/2h + k/2sqrt(mk) = [=sqrt(k/m)] = /2 + /2 = ;
Более точный расчёт даёт: Emin = /2 ;
Соотношение неопределённости объясняет, почему электрон водорода не падает на ядро + позволяет определить размеры атома водорода и энергию его основного состояния.
E=P2/2m - kl2/r ; pr= ; p~p и r~r => pr= p=/r ;
E=2/2mr2 - kl2/r ; dE/dr=(-2)2/2mr3 + kl2/r2 = 0 ;
rmin=2/kl2m первый боровский радиус ; Emin=-k2l4m/22 ;
ВОПРОС-7 {18-23, к: 39-49}: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ, ЕЁ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Способ описания квантовой системы должен учитывать её волновые свойства => Шрёдингер, 1926 “состояние квантовой системы в данный момент времени м/б описано комплексной функцией координат”.
=(x, y, z) волновая функция. Сама она не имеет физического смысла, но такой смысл имеет квадрат её модуля, который интерпретируется статистически как плотность вероятности обнаружить частицу в точке с x, y, z.
||2=* ; dP=|2|dxdydz=|2|dV ; |2|=dP/dV ;
|2|dV=1 {V} условие нормировки.
В соответствии со своим физическим смыслом -функция д/б: непрерывной, конечной, однозначной, иметь непрерывные конечные производные первого порядка по координатам, удовлетворять условиям нормировки. Это “стандартные условия”, позволяющие получать сведения, не решая уравнений.
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ {к: 40-41}
Квантовая механика теория вероятностная => надо знать, что даёт суммирование волновых функций разных состояний => фундаментальный постулат квантовой механики “принцип суперпозиции”, согласно которому: если в состоянии, описываемом 1 некоторое измерение даёт результат 1, а в 2 некоторое измерение даёт результат 2, то всякая линейная комбинация вида: c11+c22, где c1, c2 константы (м/б комплексными) описывает состояние, в котором то же измерение даёт либо результат 1, либо результат 2.
ОПЕРАТОРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН {к: 41-46}
Чтобы использовать для описания квантовой системы понятия классической механики (r, P, L, E), динамическим переменным квантовой механики ставятся в соответствие операторы такие действия над волновой функцией, которые позволяют найти средние значения этих переменных в данном состоянии.
Операция измерения Физический объект
\/ \/
Операторы квантовой механики
Математически измерениям соответствуют операторы.
Динамические переменные в классической механике имеют определённые значения, т.е. состояние системы задаётся совокупностью чисел.
Динамическим переменным квантовой механики нельзя приписать определённые значения. Но математический аппарат квантовой механики позволяет:
Определить возможные значения измеряемой физической величины, которая называется её собственной величиной.
Рассчитать вероятности получения определённых значений.
По известным вероятностям рассчитать среднее значение величин в данном состоянии.
Рассмотрим эти операции подробно:
Чтобы связать операторы с числами в квантовой механике используется факт, что для каждого оператора можно найти волновые функции (-функции) его собственные функции, которые являются решениями уравнения: ^F=F (*) при действии оператора на функцию получается та же функция, умноженная на число.
Примеры операторов:
а) ^Дx=d/dx; ^Дx=d/dx ;
б) ^X оператор независимой переменной: ^X=X
в) ^F= - d2/dx2 ; =cos4x ; ^F=16cos4x=16;
(*) имеет решение не при всех значениях параметра F.
Те значения, при которых (*) имеет решение и которые соответствуют возможным результатам измерения некоторых физических величин СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ оператора ^F.
Одни физические величины имеют, как в классической механике, непрерывные спектр собственных значений (например, координаты), другие дискретные спектр (например, энергия).
F1, F2, ... , Fi , .... Fn дискретный спектр собственных значений ^F (или возможные результаты измерения величины F).
Решение уравнения (*) совокупность собственных функций.
1, 2, .... n описывает состояние системы, в котором F имеет определённые значения.
Волновая функция произвольного состояния системы, согласно принципу суперпозиции м/б разложена по собственным функциям измеряемой физической величины => оператор должен быть линейным, т.е. удовлетворять условию: ^F(c11 + c22)=c1^F1+c2^F2, где c1 и c2 произвольные комплексные числа.
ИТОГО: =ci {i=1, } (**)
(**) даёт возможность найти вероятность обнаружения (при измерении) у системы, описываемой , того или иного значения Fi динамической переменной F.
Если есть вероятности, то можно вычислить средние значения переменных в данном состоянии: если ^F оператор физической величины, то в состоянии, описываемом волновой функцией , среднее значение F рассчитывается по формуле:
<F>=*^FdV {V} (***)
Значения измерения величины Fi и её среднего значения д/б действительными => накладывается дополнительное ограничение на свойства операторов ^F, которые д/б самосопряжёнными.
Есть 1 и 2: 1^F2dV {V}=(F1)*2dV ;
Пример самосопряжённого линейного оператора: (1/i)(d/dx);
Пример линейного оператора: ^X и ^Дx ;
Пример нелинейного оператора: возведение функции в степень.
Т.о. динамическим переменным квантовой механики ставятся в соответствие линейные самосопряжённые операторы.
Явный вид операторов устанавливается при использовании законов сохранения.