Основные операторы квантовой механики

Динамические переменные классической механики	Операторы квантовой механики
Координаты: (r, x, y, z)	^r, ^x, ^y, ^z
Импульс: (P, Px, Py, Pz)	^P=-i (или h/i) ^Px=-i(д/дx) ^Py=-i(д/дy) ^Pz=-i(д/дz)
Момент импульса: L=[r, P] = |i j k| |x y z| |Px Py Pz| Lx=ypz-zpy; Ly=zpx-xpz; Lz=xpy-ypx;	^L=-j[r, ] Lx=-i[y(д/дz)-z(д/дy)] Ly=-i[z(д/дx)-z(д/дz)] Lz=-i[x(д/дy)-y(д/дy)]
Энергия: E=p^2/2m + U(r)	Оператор Гамильтона (гамильтанион): ^H=-^2/2m + U(r);

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ

На множестве операторов можно ввести “+” и “*”. Их смысл зависит от того, являются ли динамические переменные одновременно измеряемыми или нет.

Сумма: (^F+^Q)=^F+^Q;

Произведение: (^F, ^Q)=^F(^Q, )  не всегда подчиняется правилу коммутативности, т.е. ^F^Q^Q^F;

[^F, ^Q]=^F^Q - ^Q^F  коммутатор операторов F И Q.

Если он равен нулю, то динамические переменные F и Q, соответствующие операторам ^F и ^Q, м/б одновременно измерены. И наоборот.

[^X, ^Д_x]=X(d/dx) - (d/dx)x;

(^X, ^d/dx)=x(d/dx);

(^d/dx, ^x)=(d/dx)(x)=+x(d/dx)

ВОПРОС-8 {23-25, к: 49-53}: УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

Основная задача квантовой механики  нахождение -функции и изучение связанных с ней свойств микрочастиц. Наличие у микрочастиц волновых свойств требует особого подхода к изучению их движения. 1926  Шрёдингер описал движение микрочастиц с помощью волнового уравнения.

Уравнение Шрёдингера не выводится, а постулируется.

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

Волновое уравнение обобщено: -(1/²)(д²/дt²)=0 => на случай волны де Бройля.

=₀=e^{i(t-(k, r))}= {=E/, k=p/} = ₀e^{(i / )(Et - (p, r))} ;

ИТОГО: (r, t) = e ^{(i / )Et}  (r) ;

k=/; +k²=0; Для микрочастиц: k=p/ ;

Шрёдингер обобщил догадку де Бройля на случай движения частицы в силовом поле. В этом случае её полная энергия: E=p²/2m + U(r)=k²²/2m + u  (2m/²)(E-U)=k²;

ИТОГО: +(2m/²)(E-U)=0, U  потенциальная энергия в силовом поле.

=(д²/дx²) + (д²/дy²) + (д²/дz²);

-(²/2m)=^H=E;

[-(²/2m)+U(r)]=E  уравнение Шрёдингера для стационарного состояния.

E₁, E₂, ... E_n  дискретный энергетический спектр

^H=E  оператор Гамильтона

ВРЕМЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА {к: 51-52}

В общем случае: ^H=(²/2m) + U(r, t) (E_p уже не имеет смысла).

F=-U; e^{(1 / )} и i(д/дt)=E

ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ВРЕМЕНИ: [(-²/2m) + U(r, t)]=i(д/дt);

Решение уравнения Шрёдингера (-функция) зависит от вида U(r, t).

Для свободно движущейся частицы U(r, t)=0 => решением является ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ: (r, t)=₀e^{(i / )(Et-(, r))}  т.е. чтобы задать состояние микрочастицы, нужно задать его во всём пространстве.

УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ {к: 52-53}

(-(²/2m) + U(r, t))* = -it(д*/дt) |  

(-(²/2m) + U(r, t)) = -it(д/дt) |  

i(*(д/дt) + (д*/дt))=(/2m)(*-*); =² ;

-*(д/дt)+(д*/дt)=-(/2mi) (* - *);

=*  плотность вероятности.

j=(/2mi)(* - *);

ИТОГО: д/дt + (, j) = 0  закон изменения вероятности (в локальной форме).

ВОПРОС-9 {25-28, к: 53-59}: ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА

5.1 Частица в одномерной потенциальной яме с абсолютно высокими и абсолютно непроницаемыми стенками.

Пусть частица движется вдоль O_x в потенциальном поле:

U_x={, x<0 ; 0, 0xl ; , x>l }

<РИС>

При x<0 => (x)=0 , (0)=0 , при x>l => (x)=0, (l)=0 ;

Для одномерного случая уравнение Шрёдингера превращается в обычное дифференциальное уравнение.

0<x<l : d²/dx² + (2m/²)E=0;

k²=(2m/²)E  k  волновое число волны де Бройля.

ⁿ + k² = 0; (x’’ + ₀²x=0) ; =Asin(kx+); (0)=Asin=0  =0

(l)=Asinkl=0  kl=n ;

sin  функция знакопеременная, но мы ограничимся положительными значениями

n=1, 2, 3...

k=n/l ; k=2/ => l=n/2  на ширине потенциальной ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

k²=(2m/²)E; (n²/l²)=(2m/²)E  E=[(²²)/(2ml²)]n² ;

Энергия частицы в потенциальной яме принимает дискретный ряд значений: E₁, E₂, ... E_n  собственные значения энергии частицы, n  главное квантовое число.

Отметим, что квантованность энергии  следствие математических требований, накладываемых на решение уравнения Шрёдингера.

<РИС>

=Asin(n/l)x ; ||²dx=1 {0, l} ; A²sin²[(n/2)x]dx=1 {0, l };

A²<sin²[(n/l)x]l=1 ; A=sqrt(2/l); =sqrt(2/l)sin[(n/l)x];

Из графика видно, что вероятность обнаружения частицы в состоянии 2 (в середине ямы) равна нулю, а в обеих половинах частица бывает равновероятно.

E=E_n+1 - E_n = [²²/2ml](2n+1)[²²/ml²]n ;

5.2 Энергетический спектр и волновые функции микрочастицы в ящике в непроницаемыми стенками: V(0<x<a, 0<y<b, 0<z<c);

Физические условия непроницаемости стенок ящика:

U(r) = {0, r  V ; , r  V}

r  V => +(2m/²)E=0 ; E_n1n2n3 = [²²/2m][n₁²/a² + n₂²/b² + n₃²/c²]

(r)=₁(x)₂(y)  ₂(z) = sqrt(8/abc)  sin[n₁/a]x  sin[n₂/b]y  sin[n₃/c]z

Из выражений для собственных значений энергии и собственных функций => одной и той же энергии может соответствовать несколько собственных функций .

n₁=n₂=n₃ => 1 ; n₁=n₂n₃ => 3 ; n₁n₂n₃ => 6

Если собственное значение энергий, которое называется энергетическим уровнем, отвечает нескольким -функциям, то такой уровень ВЫРОЖДЕННЫЙ. Число   кратность вырождения.

1. Из полученных соотношений следует, что энергия частицы в связанном состоянии принимает ряд дискретных значений (квантуется).

2. Полученные результаты согласуются с соотношением неопределённости. Неопределённости координат порядка l соответствует неопределённость импульса порядка /l ; Если предположить, что значение импульса по порядку величины совпадает с величиной неопределённости импульса ( p~/l ) => E=p²/2m = ²/2ml² ; (E=²²/2ml² );

Замечание: если потенциальная яма имеет конечную глубину.

’’-²=0; ²=(2m/²)(U₀-E); =const  e^x : “+”  x > l , “-”  x<0