22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики

Известно, что, если случайные события А и В зависимы, то условная вероятность события А отличается от его безусловной вероятности. В этом случае .

Аналогичное положение имеет место и для СВ. Пусть и - зависимые СВ, - их совместная ФР. Если известно, что СВ уже приняла некоторое значение y, то ЗР СВ при этом условии не будет совпадать с ее безусловным ЗР. Он называется условным законом распределения (УЗР) СВ при условии, что , и, заданный для всех возможных значений y СВ , полностью определяет зависимость между СВ и .

Исчерпывающей характеристикой УЗР СВ при условии, что , является условная ФР (УФР) СВ при условии, что , которую естественно было бы определить как

. (3.12)

Следует отметить, что это определение не имеет смысла, если , что имеет место всегда, когда - НСВ. Тем не менее, в дискретном случае определением (3.12) можно вполне пользоваться.

Пусть -ДСВ, - его возможные значения, - вероятности значений, , , . Тогда все УЗР СВ при условии, что , , являются дискретными и согласно определению условной вероятности имеем:

.

Дискретные УЗР удобнее задавать не УФР , а совокупностью условных вероятностей , заданных при каждом :

и записывать в виде таблицы:

Очевидно, что при этом выполняется условие нормировки: .

Аналогичны выражения для УФР , условных вероятностей и дискретного УЗР СВ при условии, что : ;

;

Для вероятностей в последней таблице выполняется условие нормировки: .

Р ассмотрим теперь непрерывный случайный вектор . Так как в этом случае при любом , то определение (3.12) условной функции распределения случайной величины при условии, что , неприменимо. Для непрерывных случайных величин и условную функцию распределения определяют следующим образом: .

Вероятность, стоящая под знаком предела, представляет собой вероятность попадания непрерывного случайного вектора в полосу.

В соответствии с определением условной вероятности и свойствами двумерной ФР имеем:

.

Если последний предел существует, то он равен .

для УФР получаем выражение: (3.13)

УПВ СВ при условии, что , определяется как производная по х от УФР : -> (3.14) (при , если ).

УПВ СВ при условии, что : -> (3.16)

Как и любая ПВ, УПВ обладают свойствами:

При фиксированном y ; (условие нормировки);

При фиксированном х ; (условие нормировки).

- правило умножения ПВ. Для СВ в терминах ПВ имеют место также аналоги формулы полной вероятности и формулы Байеса:

;

Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся также, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.

Если - , то условным математическим ожиданием СВ при условии, что , называется величина а условным математическим ожиданием СВ при условии, что , - величина

Если - , то условные математические ожидания СВ при условии, что , и СВ при условии, что , определяются формулами:

; .

Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.

, ; .

, ; .

Отметим, что, если безусловные МО и дисперсия являются числами, то условные МО и дисперсия есть функции условия. Функцию называют также функцией регрессии на , а функцию - функцией регрессии на .