- •1. Предмет теории вероятностей. Случайный эксперимент.
- •2. Классическое определение вероятности.
- •3. Геометрическое определение вероятности
- •4. Аксиоматическое определение вероятности
- •5. Условные вероятности
- •6. Независимые события
- •7. Формулы полной вероятности и Байеса
- •8. Схема независимых испытаний Бернулли
- •9. Случайные величины. Функция распределения случайной величины и ее свойства
- •10. Дискретные случайные величины. Закон распределения дсв.
- •12. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей
- •13. Важнейшие непрерывные случайные величины
- •1 4. Математическое ожидание св.
- •15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
- •16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
- •17. Случайные векторы. Фр случайного вектора и ее свойства.
- •18. Дискретные случайные векторы. Зр дискретного случайного вектора
- •19. Непрерывные случайные векторы. Плотность вероятностей и ее свойства
- •20. Пример. (Равномерное распределение в области ).
- •21. Независимость случайных величин
- •22. Условные законы распределения и условные числовые характеристики
- •23. Числовые характеристики случайных векторов
- •24. Теоремы о числовых характеристиках
- •25. Некоррелированность случайных величин и ее связь с независимостью
- •26. Коэффициент корреляции его свойства
- •27. Многомерное нормальное (гауссовское) распределение
- •28. Функции случайных аргументов
- •29. Композиция (свертка) законов распределения
- •30. Неравенство Чебышева
- •31. Законы больших чисел
- •32. Теорема 3 (збч для независимых, одинаково распределенных св).
- •33. Центральная предельная теорема
- •34. Теорема 2 (Ляпунова) (цпт для независимых, разнораспределенных св)
15. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.
Кроме МО, в теории вероятностей используется еще ряд ЧХ различного назначения. Среди них основную роль играют моменты – начальные и центральные.
Определение. Начальным моментом -го порядка СВ называется МО -ой степени этой СВ:
, (2.9) если МО существует.
Как правило, используют начальные моменты целого положительного порядка. В частности, при имеем , а при .
Определение. Центральным моментом -го порядка СВ называется МО -ой степени отклонения этой СВ от ее МО: , (2.10) если МО существует.
СВ называется центрированной СВ (так как ). Таким образом, центральный момент – это начальный момент для центрированной СВ: .
Аналогично начальным моментам, центральные моменты обычно используют целого положительного порядка.
В частности, при имеем для всех СВ.
Особое значение для практики имеет второй центральный момент , который называется дисперсией СВ и обозначается .
Определение. Дисперсией СВ называется МО квадрата отклонения СВ от ее МО: . (2.11)
Для дисперсии справедливо также следующее выражение:
. (2.12)
Дисперсия характеризует степень разброса (рассеивания) значений СВ относительно ее среднего значения (МО). Чем плотнее группируются значения СВ около МО, тем дисперсия меньше (ср. со смыслом параметра в нормальном законе распределения).
Механическая интерпретация дисперсии. Дисперсия представляет собой момент инерции распределения масс относительно центра масс (центра тяжести, МО).
Свойства дисперсии
1. , тогда и только тогда, когда . Свойство следует из свойства 4 МО .
2. Дисперсия не изменяется при прибавлении к СВ константы: .
.
3. Константа из-под знака дисперсии выносится с квадратом: .
.
Дисперсия имеет размерность квадрата СВ. Характеристикой рассеивания, размерность которой совпадает с размерностью СВ, является среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение), определяемое как корень арифметический из дисперсии: .
С учетом данного определения часто пишут: .
Другие используемые на практике ЧХ.
Величина , определяемая равенством , называется - квантилем распределения СВ .
Квантиль называется медианой распределения СВ . Другими словами, медиана – это значение на числовой прямой, для которого
Модой распределения НСВ называется число , при котором ПВ достигает максимального значения. Распределения с одной модой называются унимодальными, а распределения с несколькими модами – мультимодальными.
Для симметричных распределений медиана, мода и МО совпадают.
16. Чх дискретных и непрерывных случайных величин
1. Индикаторная СВ.
|
0 |
1 |
|
q |
p |
где .
Найдем МО и дисперсию этой СВ.
. .
2. Биномиальная СВ .
Множество возможных значений биномиальной СВ ,
а вероятности, определяются по формуле Бернулли: .
.
.
.
3. Геометрическая СВ .
Множество возможных значений геометрической СВ ,
а вероятности значений определяются по формуле: .
. .
Заметим, что ряд представляет собой результат дифференцирования по геометрической прогрессии . Поэтому .
.
Заметим теперь, что при нахождении МО было получено, что . Поэтому
.
Теперь для дисперсии СВ получаем выражение: .
4. Пуассоновская СВ .
Множество возможных значений пуассоновской СВ ,
а вероятности задаются формулой: .
. .
5. Равномерная СВ .
ПВ СВ , равномерно распределенной на отрезке , имеет вид:
. .
.
.
6. Показательная (экспоненциальная) СВ .
ПВ показательно распределенной СВ имеет вид:
. .
.
7. Нормальная (гауссовская) СВ .
ПВ нормально распределенной с параметрами СВ имеет вид:
.
.
8. СВ, имеющая распределение Коши.
СВ , распределенная по закону Коши, имеет ПВ вида: .
.
В связи с этим проверим выполнения условие существования МО, а именно абсолютную сходимость интеграла . .
Поскольку интеграл абсолютно расходится, то у СВ, распределенной по закону Коши, МО не существует. А, следовательно, у данной СВ не существует дисперсия и другие моменты более высоких порядков.