1. Если функция дифференцируема при всех , то мы можем рассмотреть функцию , сопоставляющую каждой точке значение производной . Эта функция называется производной функции , или первой производной от . Функция , в свою очередь, может иметь производную во всех (или некоторых) точках интервала , которую мы обозначим и назовём второй производной функции . Если предположить, что вторая производная существует во всех точках , то она может также иметь производную , называемую третьей производной функции , и т. д. Вообще, n-й производной функции называется производная от предыдущей, -й производной :

2. Смотри тетрадь

3. Смотри тетрадь

4. Смотри тетрадь

5. Смотри тетрадь

6. Смотри тетрадь

7. Смотри тетрадь

8. Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

Эту главную часть приращения функции, пропорциональную приращению аргумента, называют дифференциалом функции и обозначают символом dy: dy=y/x

9. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

??????????????????????????????????????????

Дифференциал функции в точке имеет вид:

где — дифференциал тождественного отображения :

Пусть теперь Тогда , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

10. Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что есть произвольное и не зависящее от , которое при дифференцировании по следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции выглядит следующим образом:

где , а произвольные приращения независимых переменных .

Приращения рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

11. Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число u, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражается равенством вида u=f(M). Число u, сопоставляемое с точкой М, называется значением данной функции в точке М. Например, если А - фиксированная точка плоскости, М - произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае f(m)=AM.

С помощью таблиц, в которых указывается зависимость между значениями агрумента и значениями функции, такой способ подходит для функций, у которых аргумент принимает небольшое количество значений. Так в следующей таблице описана функция, которая показывает зависимость количества пылесосов, выпущенных заводом в зависимости от номера месяца

С помощью графиков

С помощью формулы- это наиболее распространенный способ.

Как было сказано выше, наиболее распространенным способом задания функции, является задание функции с помощью формулы. Формула позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Линией уровня функции двух переменных называется геометрическое место точек, в которых функция принимает одно и то же значение. Линии уровня функции z = f(x, y) определяются уравнением f(x, y)=const.

12. Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M₀(x₀,y₀,z₀) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0, то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М₀.

Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий) — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку».

Для любого постоянного числа и скалярных полей справедливо следующее:

Линейность

Правило Лейбница

, где — скалярное произведение векторов и .

13. Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,

,

и, аналогично,

, .

Производные и называются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , и т. д.

Предположим, что — некоторый -угольник, а функция осуществляет конформное отображение на . Тогда можно представить в виде

,

где — прообразы вершин на вещественной оси, — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а и — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).

14. ↑

15. Говорят, что функция имеет максимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.

Говорят, что функция имеет минимум в точке , т.е. при , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё.

Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция достигает экстремума при , то каждая частная производная первого порядка от или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

16. Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е.

,

тогда при :

1) имеет максимум, если дискриминант и , где ;

2) имеет минимум, если дискриминант и ;

3) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ;

4) если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).

17. Первообра́зной или примити́вной функцией (иногда называют также антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как или … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции можно обозначить как , где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C.

Неопределённый интегра́л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

где С — произвольная постоянная.

Если , то и , где — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Свойства первообразных и неопределённого интеграла вытекают из определения и соответствующих свойств производных.

1. Из определения вытекает, что

и

Второе равенство нужно понимать так, что производная любой из функций, составляющих неопределённый интеграл, даёт один и тот же результат, равный подынтегральной функции (это как раз и есть определение первообразной). Два написанных равенства выражают взаимную обратность операций дифференцирования и интегрирования.

2. Имеет место равенство:

где -- произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через некоторую первообразную для , а через -- некоторую первообразную для . Тогда равенство означает, что , где -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же: , так как -- первообразная для , а , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и .

Итак, постоянный множитель можно вынесить за знак интеграла.

3. Интеграл от суммы равен сумме интегралов:

Действительно, пусть первообразная для равна , для равна , а для равна . Тогда равенство означает, что

где . Поскольку

и

то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных.

Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Из них следует, что для любых постоянных и

и, в частности,

18. Более традиционный подход к аналитическим функциям основан на понятии производной. Из математического анализа берется элементарное определение производной и ставится вопрос, может ли функция F иметь комплексную производную Fў, задаваемую такой же формулой, как в анализе

Свойство инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования (см. таблицу) сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции, то есть если где то где – любая дифференцируемая функция.

Так, например, если , то где – функция от