Признаки непланарных графов

• достаточное условие — если граф содержит двудольный подграф K_3,3 или полный подграф K₅, то он является не планарным;

• необходимое условие — если граф не планарный, то он должен содержать больше 4 вершин, степень которых больше 3, или больше 5 вершин степени больше 2.

Маршруты и связность в орграфах

Для ориентированного графа можно определить два типа маршрутов. Неориентированный маршрут (или просто маршрут ) - это чередующаяся последовательность   вершин и ребер графа, такая, что для каждого   выполняется одно из двух:   или  . Маршрут называетсяориентированным (или ормаршрутом ), если   для каждого  . Таким образом, при движении вдоль маршрута в орграфе ребра могут проходиться как в направлении ориентации, так и в обратном направлении, а при движении вдоль ормаршрута - только в направлении ориентации. Это различие очевидным образом распространяется на пути и циклы, так что в орграфе можно рассматривать пути и орпути, циклы и орциклы. Будем говорить, что маршрут соединяет вершины   и  , а ормаршрут ведет из   в  .

Соответственно двум типам маршрутов определяются и два типа связности орграфов. Орграф называется связным (илислабо связным ), если для каждой пары вершин в нем имеется соединяющий их маршрут; он называется сильно связным, если для каждой упорядоченной пары вершин (   ) в нем имеется ормаршрут, ведущий из   в  . Максимальные по включению подмножества вершин орграфа, порождающие сильно связные подграфы, называются его областями сильной связности, а порождаемые ими подграфы - компонентами сильной связности. Очевидно, разные области сильной связности не могут иметь общих вершин, так что множество вершин каждого орграфа разбивается на области сильной связности. Областями сильной связности орграфа на рис. 2.4 являются множества  ,  ,  .

------19. Поиск в глубину (англ. Depth-first search, DFS) — один из методов обхода графа. Алгоритм поиска описывается следующим образом: для каждой непройденной вершины необходимо найти все не пройденные смежные вершины и повторить поиск для них. Используется в качестве подпрограммы в алгоритмах поиска одно- и двусвязных компонент, топологической сортировки.

Алгоритм поиска в глубину

Пусть задан граф  , где   — множество вершин графа,   — множество ребер графа. Предположим, что в начальный момент времени все вершины графа окрашены в белый цвет. Выполним следующие действия:

1. Из множества всех белых вершин выберем любую вершину, обозначим её  .

2. Выполняем для неё процедуру DFS( ).

3. Повторяем шаги 1-3 до тех пор, пока множество белых вершин не пусто.

Процедура DFS (параметр — вершина  )

1. Перекрашиваем вершину   в черный цвет.

2. Для всякой вершины  , смежной с вершиной u и окрашенной в белый цвет, выполняем процедуру DFS(w).

------20 Поиск в ширину (BFS, Breadth-first search) — метод обхода и разметки вершин графа.

Поиск в ширину выполняется в следующем порядке: началу обхода s приписывается метка 0, смежным с ней вершинам — метка 1. Затем поочередно рассматривается окружение всех вершин с метками 1, и каждой из входящих в эти окружения вершин приписываем метку 2 и т. д.

Если исходный граф связный, то поиск в ширину пометит все его вершины. Дуги вида (i, i+1) порождают остовный бесконтурный орграф, содержащий в качестве своей части остовное ордерево, называемое поисковым деревом.

Легко увидеть, что с помощью поиска в ширину можно также занумеровать вершины, нумеруя вначале вершины с меткой 1, затем с меткой 2 и т. д.