Следствия из теоремы:

1. если главный момент внешних сил относительно некt неподвижного центра остается все время равным нулю, то кинетический момент мех. системы относительно этого центра остается постоянным.

2. если главный момент внешних сил относительно некt неподвижной оси остается все время равным нулю, то кинетический момент мех. системы относительно этой оси остается постоянным.

Кинетический момент мех. системы относительно центра – это вектор, равный геометрической сумме моментов количеств движения всех мат. точек системы относительно этого центра.

Кинетический момент мех. системы относительно оси – это алгебраическая сумма моментов количеств движения всех мат. точек системы относительно этой оси.

Теорема об изменении кинетической энергии мех. Системы:

Если рассмотреть какую – нибудь точку системы с массой m_k, имеющую скорость V_k , то для этой точки:

d((m_k V² _k)/2) = ∑ A^e _k + ∑ Aⁱ _k

составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

dT = ∑ A^e _k + ∑ Aⁱ _k – теорема в диф. Форме

проинтегрировав обе части этого равенства в пределах, соо – щих перемещению системы из некt начального положения, где кинет. энергия = T₀, в положении где значение кин. энергии становится равным T₁:

T₁- T₀=∑ A^e _k + ∑ Aⁱ _k – интегральная форма теоремы

Теорема: изменение кин. энергии системы при некt ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

Работа равна 0:

1. внутренних сил абсолютно твердого тела и нерастяжимой нити

2. реакции идеальных связей (связей без трения), т.к. гладкая поверхность, опора и т.д.

3. силы, приложенной к неподвижным или мгновенно неподвижным точкам.

Теорема Кенига: любое произвольное движение тела может быть представлено как :

T = ½ mV² _c + ∑( m_kV² _отн )/2

Кинетическая энергия при различном движении:

1. поступательное движение

V _c – скорость центра масс

T = ½ mV² _с

2. вращательное движение

T = ∑( m_kω² h² _k )/2 = (J_z ω²)/2

3. плоско – параллельное движение

T = ½ mV² _с + (J _cz ω²)/2

Закон сохранения мех. энергии системы: при движении под действием потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии системы в каждом ее положении остается величиной постоянной

Т+П = Т₀ + П₀= const

П = mgh

Теорема об изменении количества движения точки:

Т.к. m=const и a=dv/dt , то основной закон динамики представим в виде:

d(mv)/dt =∑ F_k – теорема в диф. форме

Теорема: производная по времени от количества движения точки = сумме действующих на точку сил.

Пусть движение точки имеет при t=0 V=V₀ , а при t₁=0 - V=V₁. умножим обе части на dt и проинтегрируем:

mV₁ – mV₀ = ∑ ∫F_k dt

правая часть представляет собой импульс действующих сил =>

mV₁ – mV₀ = ∑ S_k

Теорема: изменение количества движения точки за некt промежуток времени = сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Закон сохранения количества движения:

1. ∑ F_k = 0

Если сумма всех внешних сил, действующих на точку =0 , то вектор количества движения точки будет постоянен по модулю и направлению

2. ∑ F_kx = 0

Если сумма проекций всех действующих сил на какую – нибудь ось = 0, то проекция количества движения точки на эту ось есть величина постоянная.

Теорема об изменении количества движения мех. системы:

Рассмотрим систему, состоящую из n точек. Составим для нее диф. уравнения движения и сложим их, тем самым получим:

∑ m_k a_k = ∑ F^e _k + ∑ Fⁱ _k

∑ m_k a_k = d/dt (∑ m_k V_k) = dQ/dt

Т.к. ∑ Fⁱ _k=0, то dQ/dt =∑ F^e _k

Теорема: производная по времени от количества движения системы равно его геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

В проекциях на координатные оси:

dQ_x/dt =∑ F^e _kx

dQ_y/dt =∑ F^e _ky

dQ_z/dt =∑ F^e _kz

Закон сохранения количества движения:

3. ∑ F_k = 0

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему =0 , то вектор количества движения точки будет постоянен по модулю и направлению

4. ∑ F_kx = 0

Если сумма проекций всех действующих сил на какую – нибудь ось = 0, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Дифф уравнения прямолинейного движения точки и их интегрировани (при различных вариантах правой части уравнения)

1. сила зависит только от времени

диф ур - mx``=f(t)

∫mdv=∫(f(t)dt)+C1=f1(t)+C1

mv=f1(t)+C1

m(dx/dt)= f1(t)+C1

∫mdx=∫ (f1(t)+C1) dt +C2=f2(t)+C1t+C2

mx(t) = f2(t)+C1t+C2

2. сила зависит от координаты точки

mx``=f(x)

dV/dt=x``

m(dV/dt)=m(dV/dx)(dx/dt)=

mV(dV/dx)=f(x)

(1/2)mV²=∫(f(x)dx)+C1=f1(x)+C1

dx/dt=V=sqrt(2/m + f1(x) + C1)

∫(dx/sqrt(f1(x)+C1))=sqrt(2/m) * t +C2

∫(dx/sqrt(f1(x)+C1))=f2(x)=(sqrt(2/m) *t +C2)

3. сила зависит от скорости точки

mx``=f(V)

m(dV/dt)=f(V)

m ∫(dV/f(V))= ∫dt+C1

m f1(V)=t+C1

V=G(t)

dx/dt=G(t)

x=∫(G(t)dt) +C2

x=G1(t)+C2

Колебательное движение точки. Решение уравнений свободных колебаний

восстанавливающая сила - сила пытающаяся вернуть точку в положение равновесия, такие силы зависят от положения точки, отклонения от равновесия, и направлены к положению равновесия.

привести рисунок с тележкой на пружине...и еще про коробку тонущую...

восстанавливающие силы придают движению материальной точки колебательный характер.

также в таких случаях еще действуют силы сопротивления R(x`) зависящие от скорости движения на рисунке с тележкой такой силой будет трение между телом и поверхностью.

Т=2π\k период колебания

V=1/T

свободные колебания

восстанавливающая сила F(x)=-cx

дифф ур - mx``+cx=0

с - коэффициент пропорциональности

положив c/m = k²

x``+ k²x=0 линейное однородное дифф уравнение второго порядка с постоянными коэф

характеристическое уравнение

l² + k²=0

корни чисто мнимые числа

l₁=ki l₂ =-ki

общее решение будет -

x =C₁coskt+C₂sinkt

C₁ и C₂ - постоянные интегрирования

положив C₁=a sinE C₂ =a cosE

из соотношений новые постоянные определяются из формул

a = √(C²₁+ C²₂)

tgE= C₁/ C₂

тогда

x=a cosE sinkt + a sinE coskt

x=A sin(kt+E)

C₁ и C₂ ( a и E) определяются из начальных условий, начальным положением и скоростью точки.

таким образом под действием восстанавливающей силы материальная точка совершает движение по синусоидальному закону, то есть гармоническое колебательное движение. Такие колебания называются свободными колебаниями.

амплитуда колебания - наибольшее отклонение материальной точки от положения равновесия = a

аргумент (kt+E) называется фазой колебания , а E начальной фазой

k - угловая частота колебаний , определяет число колебаний совершаемых точкой за 2π секунд

k=√(c/m) не зависит от начальных условий - собственная частота

T=2π√(m/c)

V=2m√(c/m)

свойства свободных коле­баний:

1.Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от началь­ных условий задачи.

2.Частота и период колебаний не зависят от начальных усло­вий задачи и полностью определяются параметрами самой коле­бательной системы.

понятия о свободных, затухающих, вынужденных прямолинейных колебаниях материальной точки. Дифф уравнения этих колебаний и их решения.

Свободные незатухающие колебания

Mx’ = -сх или x’’ + k²x = 0, где c/m = k². х = С₁ sin kt + C₂ cos kt или х = Asin{kt + α) .

Такое движение материальной точки называется гармоническими колебаниями.

амплитуда колеба­ний - величина А, равная максимальному отклонению точки от положения равновесия.

Величина φ = kt + α называется фазой, при этом α - на­чальной фазой колебаний. Величину k называют угловой частотой. Промежуток времени T=2π/k, в течение которого совершается одно полное колебание, называется периодом.

свойства свободных коле­баний:

1.Амплитуда и начальная фаза колебаний зависят от началь­ных условий задачи.

2.Частота и период колебаний не зависят от начальных усло­вий задачи и полностью определяются параметрами самой коле­бательной системы.

Затухающие колебания

R=μx’ – вязкое сопротивление.

x``+ μ/mx’ +k²x=0 (1), μ/m=2b

b<k, движение имеет колебательный характер.

Общее решение уравнения (1):

x = e^-bt(C₁sink₁t + C₂cosk₁t);

постоянные интегрирования определяются из начальных условий:

x(0) = x₀; V(0) = V₀

A = √ x²₀ + (V₀+bx₀)²/ k²₁;

tg(α) = x₀k₁/( V₀+bx₀);

k₁ = √ k² – b² - частота;

T₁= 2π /k₁;

A₁ = Ae^-bt - амплитуда убывает со временем.

если b=k, то колебаний нет

Общее решение уравнения (1):

x = e^-bt(C₁+C₂t)

если b>k, то колебаний нет

Общее решение уравнения (1):

x = Ae^-bt(C₁e ^k₂ ^t+C₂ e ^-k₂ ^t), где

k₂ = √ b² – k²

Вынужденные колебания

Пусть теперь наряду с восстанавливающей силой F и си­лой тяжести Р на точку действует еще и сила Q, изменяющаяся по гармоническому закону: Q = Q₀ sin pt, где Q_o - ее амплиту­да, а р - частота. Уравнение движения в системе координат с на­чалом в положении статического равновесия тогда имеет вид

х + к²х = р₀ sin pt, р₀ = Q_o / m. Это неоднородное дифференциаль­ное уравнение, и его решение можно записать в форме х = х₀ + х_n, где х₀ - общее решение, х_n – частное

x = Asin(kt + a)+[p_o/(k²-p²)]sinpt..

Решение применимо лишь в случае, когда р<>к. Если собственная частота совпадает с частотой возмущающей силы р = к, решение можно представить в форме

x = Asin(kt + a)-(pot/2k)coskt.

Амплитуда вынужденных колебаний, как мы видим, растет линейно со временем. Это явление называется резонансом.

понятия о степенях свободы системы. Классификация связей. Действительные и виртуальные перемещения виртуальной системы. Принцип возможных перемещений(принцип Лагранжа)

степень свободы - число независимых между собой возможных перемещений механической системы.

число степеней свободы системы из n точек и h связей

пространство N=3n-h

плоскость N=3n-h

3Д-2Ш-С

Д - диски, Ш - шарниры , С - опорные стержни

Классификация связей:

Связи – это любого вида ограничения, кt налагаются на положения и скорости точек мех. системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы.

Стационарные связи – это связи, кt не изменяются со временем.

Нестационарные связи – это связи, кt изменяются со временем.

Геометрические связи – это связи, кt

налагают ограничения на положение (координаты) точек системы.

Дифференциальные связи - это связи, кt налагают ограничения на положение точек системы и скорости.

Интегрируемая связь – это связь, кt устанавливает зависимость между скоростями через зависимость между координатами, а в противном случае -

неинтегрируемая связь.

Голономные связи – это геометрические и интегрируемые дифференциальные связи, а не интегрируемые дифференциальные связи - неголономные связи.

Удерживающие связи – это налагаемые ограничения, кt сохраняются при любом положении системы, а неудерживающие связи – кt не обладают таким свойством.

Идеальные связи – это связи, для кt сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равно нулю.