- •1. Общие положения к типовому заданию.
- •Способ подстановки
- •3. Уравнения, допускающие понижение порядка.
- •6. Системы линейных дифференциальных уравнении с постоянными коэффициентами
- •6.I. Теоретические вопросы
- •3. Найти общее решение уравнения:
- •4. Уравнения, интегрируемые понижением порядка. Найти частные решения:
- •Задачи, связанные с составлением дифференциального уравнения……………………………………………………………... 3
1. Общие положения к типовому заданию.
Математические методы все шире и шире проникают в повседневную инженерную деятельность, в приложения математики к технике особое место занимают дифференциальные уравнения. В своей практической работе инженер (конструктор, механик, технолог) часто сталкивается с необходимостью решения задач с переменными величинами, самостоятельного составления дифференциальных уравнений.
Предлагаемое типовое задание посвящено изучению темы "Обыкновенные дифференциальные уравнения". Цель его - помочь студенту усвоить данный раздел и приобрести навыки самостоятельной работа.
Каждый вариант типового задания содержит шесть пунктов:
Теоретический вопрос
Задачу, связанную с выводом какого-то дифференциального уравнения
и его решением.
Уравнение первого порядка (определение типа уравнения и его интегрирования).
Уравнение, допускающее понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пункт 5 в каждом варианте содержит три уравнения 51-3, из которых 51-2 посвящены методу неопределенных коэффициентов, а 53 - методу вариации произвольных постоянных. Ниже приведены примеры решения задач с некоторыми методическими указаниями.
2. Задачи, связанные с составлением дифференциального уравнения.
Задача 1. Стальная проволока длиной Lо к с поперечным сечением S растягивается силой, постепенно возраставшей до величины P.
Найти работу растяжения
Решение: Рассматривая достаточно малые деформации, воспользуемся законом Гука согласно которому деформации пропорциональны напряжениям.
(1)
При приращениях сил, мало отличающихся от нуля, приращение функции ∆L становится близким к значению дифференциала dl, т.е. при ∆Р = dP→ 0, ∆l ≈ dl. Тогда соотношение (1) для элементарного акта растяжения запишем как:
(2)
Работа растяжения на элементарном отрезке dl равна da = pdl
Здесь полагается, что на каждом элементарном отрезке работа совершается постоянной силой.
Вместо dl в формулу (3) подставим выражение из (2), тогда
(4)
Интегрируя (4), получим , где С – постоянная интегрирования, равная нулю по условию Ф=0 при з=0. Следовательно, работа растяжения проволоки может быть подсчитана по формуле:
Задача 2. Найти кривую, у которой абсцисса центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат этой кривой и ординатой любой её точки, равна ¾ абсциссы этой точки.
Решение: Абсцисс ацентра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной сверху y = f(x) снизу осью OX, слева x=a,
(1)
Применительно к рассматриваемой задаче, формулу (1) запишем в виде
(2)
где xc = ¾ по условию. На основании (2) имеем интегральное уравнение
(3)
Продифференцировав уравнение (3) по переменному верхнему пределу, получим
Продифференцируем полученное выражение вторично:
(4)
Таким образом получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, удовлетворяющее условиям задачи. Проинтегрируем уравнение (4)
откуда y = c*x2 , где с – произвольная постоянная. Следовательно, условию задачи удовлетворяет семейство парабол, проходящих через начало координат.
2. Уравнения первого порядка (определение типа уравнения и его интегрирование)
Задача 3. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения
Y'+y*cosx = limx * cosx , удовлетворяющее начальным условиям
Решение: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, так как искомая функция и её производная входят в уравнение в первой степени и не перемножаются, т.е. уравнение можно представить в виде y'+p(x)y=Q(x).
Линейное уравнение можно интегрировать или способом вариации произвольной постоянной, или подстановкой Бернулли. Расcмотрим каждый из них.
Способ вариации произвольной постоянной.
Найдем сначала общее решение линейного однородного уравнения, соответствующее данному неоднородному: . В этом yравнении переменные разделяются:
Интегрируя, получим или
Мы нашли общее решение линейного однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения будем искать в том же виде, в каком мы получили общее решение соответствующего линейного уравнения, только производную С будем считать функцией от x (применим вариации постоянной), т.е. будем искать решение неоднородного уравнения в виде.
Y=cosl-sinx. Дифференцируя левую и праву части, получим:
. Полученные значения y и y' подставляем в заданное уравнение будем иметь:
Отсюда получаем:
Интегрируем:
Интеграл в первой части берем по частям:
Следовательно,
Таким образом, если , то функция является общим решениям данного неоднородного линейного дифференциального уравнения. Значит, общее решение данного уравнения будет
или
Найдем теперь искомое частное решение. Подставляя э полученное общее решение начальные условия у =0 при x=0, будем иметь.
или
Частное решение имеет вид