1. Сопротивление материалов
1.1. Растяжение и сжатие вала
Задача №1
Стальной поршень пневмоцилиндра находится в равновесии под действием рабочий нагрузки F2 , силы давления воздуха в цилиндре F1 и силы F3 .
Найти продольные силы N, нормальные напряжения σ,перемещения Δl и построить эпюры N, Δl, σ.
F1=1,8 кН, F2=1,45 кН, d1=70 мм, d2=35 мм, d3=17,5 мм, a3 =100 мм,a1 =25мм, a2 =50 мм.
Решение:
1) Из условия равновесия поршня определяем неизвестную внешнюю продольную нагрузку F3:
ΣFi(x) = 0;
-F2 – F3 + F1 = 0;
F3 = F1-F2 =0,35 кН;
2) Определяем внутренние продольные усилия N на каждом участке поршня в произвольном поперечном сечении, используя метод сечений(проводя поперечные сечения в любом месте на каждом участке стержня по формуле:N=Σ Fi):
NI = - F2= - 1,45 кН;
NII = - F2 – F3 = - 1,8 кН;
NIII = - F2 - F3 = - 1,8 кН;
3) Определяем площади поперечных сечений на каждом участке поршня:
SI =π*(d3 /2)2 = 3.14*(17,5/2)2=240,40625 мм2;
SII = π *(d2 /2)2 = 3.14*(35/2)2=961,625 мм2;
SIII = π *(d1 /2)2 = 3.14*(70/2)2=3846,5 мм2.
4) Определяем нормальные напряжения σ на каждом участке поршня:
σI = NI / SI = -6.031 МПа;
σII = NII / SII = -1.87 МПа;
σIII = NIII / SIII = -0.467 МПа;
5) Определяем абсолютное удлинение на каждом участке поршня Δli (i = 1,...,n):
Δli = (Ni * l) / (E * Si)= (σi* l)/E,
где Е – модуль упругости материала стержня, для стали Ест=2*105 МПа.
Δl1 = (σI* a3)/E = (-6.031 *100) / 2*105= -301,55*10-5 мм;
Δl2 = (σII* a2)/E = (-1.87 *50) / 2*105= -46,75*10-5 мм;
Δl3= (σIII* a1)/E = (-0.467 *25) / 2*105= -5,8375*10-5 мм;
Находим суммарную величину абсолютного удлинения поршня:
Δl = Δl1 + Δl2 + Δl3 = -301,55*10-5 +.(-46,75*10-5 )+ (-5,8375*10-5 )=-354,1375*10-5 мм
6) По полученным значениям строим эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и перемещений Δl по участкам поршня.
Наиболее опасным участком поршня является участок 1.
Расчетная схема вала
1.2. Кручение вала
Задача №1
Полый стальной вал нагружен парами сил с моментами T1, Т2, Т3, Т4 , Т2=3Под действием момента T1 вал закручивается на угол φ=0,2 радиана на длине а. Определить диаметр вала, если α=d/D . Построить эпюры крутящих моментов Tк и углов закручивания φ. T1=1190 Н*м, Т2=700 Н*м, Т3=700 Н*м,а=250 мм, α=0,4.
Решение:
Из уравнения равновесия вала ΣTi(х)=0 определяем неизвестные внешние крутящие моменты:
-T1 + T2 + T3 - T4 =0
T4 = T2 +T3 -T1 =700+700+250 - 1190=210 Н*м
2) Строим эпюру крутящих моментов Мкi, пользуясь методом сечений и учитывая правило знаков:
Рассекаем первый участок, отбрасываем левую часть и из условия равновесия правой части получим значение Мк1:
Мk1 = - T4 = -210 Н*м;
Рассекаем второй участок и из условия равновесия правой части получим:
Мk2 = - T4 + T3 = - 210 - 700 = - 490 Н*м;
Рассекаем третий участок и из условия равновесия правой части получим:
Мk3 = T1 = 1190 Н*м;
Из эпюры видно, что самым опасным участком является участок I I I.
4) Определяем диаметр вала D из условия прочности при кручении:
τmax = Мkmax / Wp = Мkmax/0.2D3≤ [τk],
где Wp - полярный момент сопротивления, Wp = πd 3/16.
Округляем в большую сторону до стандартного значения: d1=26 мм, d2=32 мм.
3) Определяем диаметр вала d1 , d2 из условия жесткости:
φ=Мкmax/(G*Ip)= Мкmax/(G*0.1d4) ≤[φ],
где Ip – полярный момент инерции, G* Ip – жесткость сечения при кручении.
Исходя из условий прочности и жесткости окончательно принимаем d1=26 мм, d2=32 мм.
5) Определяем угловые перемещения вала φ и строим эпюру углов поворота.
Примем сечение А неподвижным.
φ = Мk*l / (G*Jp);
Поворот сечения B относительно A:
φBA = Mk3*l3/(G*0.1D4) =1190*103*250/(0.8*105*0.1*214) = 0,191 рад=110;
Поворот сечения C относительно B:
ΦCB = Mk2*l2/(G*0.1D4) =490*103*250/(0.8*105*0.1*214) = 0,0787 рад=40 31’;
Поворот сечения D относительно C:
φDC = -210*103*0,5*250/(0.8*105*0.1*214) = -0,0169рад= -00 57’;
Полный угол закручивания между концевыми сечениями равен алгебраической сумме углов закручивания всех участков:
φDA =φBA + φCB + φDC =110 +40 31’-00 57’=140 34’.
Расчетная схема вала
