5) Первообразная. Неопределённый интеграл. Таблица интегралов.

 

Первообразная. Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на промежутке X, если для любого х из Х выполняется равенство F'(x)=f(x)

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ

Множество первообразных функции f(x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом .
 Как следует из изложенного выше, если F(x) - некоторая первообразная функции f(x), то , где C - произвольная постоянная. Функцию f(x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f(x) dx - подынтегральным выражением.

Свойства неопределённого интеграла, непосредственно следующие из определения:

1) .

2) (или ).

ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

6) Определение и свойства определённого интеграла.

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произв. точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , т.е.

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы. II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю. III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный. IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам. V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций. 7) Геометрический смысл определённого интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ox и ограниченной кривой у=f(x) и прямыми у=0; х=а; х=b. 8) Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления. Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a). 9) Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла.

Криволинейная трапеция – это фигура, ограниченная графиком функции y=f(x) , осью OX и прямыми x=a ; x=b.

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:

Итак:

Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла и на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.