3.4 Вынужденные колебания и частотные характеристики сар.
В реальных условиях эксплуатации САР нередко подвергается действию периодических возмущающих сил, что сопровождается периодическими изменениями регулируемых величин и регулирующих воздействий. Таковы, например, колебания судна при ходе на волнении, колебания частоты вращения гребного винта и других величин. В ряде случаев амплитуды колебаний выходных величин системы могут достигать недопустимо больших значений, и это соответствует явлению резонанса. Последствия резонанса часто губительны для испытывающей его системы, например, опрокидывание судна, разрушение двигателя. В системах регулирования такие явления возможны при изменении свойств элементов, вызванном износами, заменой, перенастройкой, отказами. Тогда возникает необходимость либо определения безопасных диапазонов эксплуатационных условий, либо надлежащей настройки САР. Здесь будут рассмотрены эти вопросы в приложении к линейным системам.
Пусть некоторая система имеет нижепоказанную структуру:
Рис.3.16. САР в режиме вынужденных колебаний.
Если на систему действует периодическое воздействие х с амплитудой Ах и круговой частотой , то после окончания переходного процесса на выходе установятся колебания той же частоты с амплитудой Ау и смещенные относительно входных колебаний на фазовый угол . Параметры выходных колебаний (амплитуда и фазовый сдвиг) зависят от частоты вынуждающей силы. Задача заключается в определении параметров выходных колебаний по известным параметрам колебаний на входе.
В соответствии с передаточной функцией САР, показанной на рис.3.14, дифференциальное уравнение её имеет вид
(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)y=(bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)x. (3.53)
Подставим в (3.53) выражения для х и у, приведенные на рис. 3.14:
(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Aysin(t+)=
=(bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Axsint. (3.54)
Если рассматривать картину колебаний, смещенную на четверть периода, то в уравнении (3.54) функции синусов сменятся функциями косинусов:
(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Aycos(t+)=
=(bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Axcost. (3.55)
Умножим
уравнение (3.54) на i
=
и сложим полученное с (3.55):
(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Ay[cos(t+)+isin(t+)]=
= (bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Ax(cost+isint). (3.56)
Применяя формулу Эйлера
exp(it)=cost isint,
приведём уравнение (3.56) к виду
(anpn+an-1pn-1+…+a1p+a0)Ayexp[i(t+)]=
= (bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0)Axexp(it). (3.57)
Выполним операцию дифференцирования по времени, предусмотренную оператором р=d/dt:
[an(i)n+an-1(i)n-1+…+a1i+a0]Ayexp[i(t+)]=
=[bm( i)m+bm-1( i)m-1+…+b1i+b0]Axexp(it). (3.58)
После простых преобразований, связанных с сокращением на exp(it), получаем
(3.59)
Правая часть выражения (3.59) похожа на выражение передаточной функции САР и может быть получена из него заменой p=i. По аналогии она называется комплексной передаточной функцией W(i), или амплитудно - фазовой характеристикой (АФХ). Нередко употребляют также термин частотная характеристика. Понятно, что эта дробь является функцией комплексного аргумента и может быть представлена ещё и в таком виде:
W(i) = M() +iN(), (3.60)