3.5. Поля.

Полем называется коммутативное кольцо, для любого ненулевого элемента которого существует обратный.

Замечание. Пусть . Тогда делением элемента на элемент называется операция .

Примером поля может служить поле обычных рациональных чисел (дробей). Это поле содержит бесконечное число элементов.

Классическими примерами являются также поле действительных чисел и поле комплексных чисел . Очевидно, . Говорят, что является подполем (кроме того, подполем поля ). С другой стороны, поля и называются надполями или расширениями поля . Аналогичная терминология используется для произвольных полей.

Поле, не являющееся надполем ни для каких подполей называется простым (например, поле - простое).

Существуют поля, состоящие из конечного числа элементов. Такие поля называются полями Галуа. Оказывается, число элементов конечного поля всегда является степенью некоторого простого числа : . Поле Галуа, состоящее из элементов, обозначается или . Поскольку мультипликативная группа поля состоит из элемента, то , .

Аддитивная группа поля имеет фундаментальную особенность: результат сложения любого элемента поля раз самим с собой равняется нулю. Число называется характеристикой поля, если сумма, состоящая из единиц равна нулю и - минимальное число с таким свойством. Характеристика поля обозначается .

Очевидно, аддитивная группа поля таким свойством не обладает.

В подобных случаях принято считать, что характеристика соответствующего поля равна нулю.

Поле Галуа является простым. Все поля вида являются расширениями .

3.6. Многочлены над полем.

Многочлен над полем - это функция вида , где , . Целое число называется степенью многочлена и обозначается . Числа называются коэффициентами. Областью изменения аргумента является . Естественно, умножение и сложение являются операциями в поле. Константы (элементы поля ) являются многочленами нулевой степени.

Аналогично определяется многочлен над коммутативным кольцом. В свою очередь, множество всех многочленов от одной переменной над коммутативным кольцом также является кольцом.

Если , по многочлен называется приведенным (нормированным, унитарным). Любой многочлен над полем можно привести к нормированному, умножив его на , но в кольце это не так, поскольку не для всех элементов существуют обратные.

Многочлен называется делителем многочлена , если существует многочлен , такой, что , .

Общим делителем двух многочленов называется многочлен, который делит оба указанных многочлена.

Ясно, что для многочленов над полем, ненулевые константы делят любой многочлен. Поэтому делители многочленов определяются с точностью до константы.

Определение. Наибольшим общим делителем двух многочленов над полем называется многочлен , такой, что для любой общий делитель многочленов и делит .

Обычно в качестве выбирается нормированный многочлен.

Определение. Многочлен ненулевой степени называется неприводимым, если он делится только на константы и сам на себя.

2. Нод и нок чисел и многочленов над полем .

Числа 1,2,3,… называются натуральными. Число 0, а также числа вида , где натуральное число, называются целыми числами. Отношение двух целых чисел называется рациональной дробью и является записью результата деления одного числа на другое. Деление на ноль не определено. Множество рациональных дробей является полем. Обозначение -.

Простым числом называется натуральное число, у которого есть в точности два неравных натуральных делителя.

Основная теорема арифметики: каждое натуральное число единственным, с точностью до порядка сомножителей, образом представляется в виде произведения степеней простых чисел.

Наибольшим общим делителем двух целых чисел и называется наибольшее целое число, которое делит как так и . Обозначения: или НОД. Если НОД, то числа и называются взаимно простыми.

Наименьшим общим кратным натуральных чисел и называется наименьшее натуральное число, НОК, делящееся как на так и на .

Очевидно, НОК.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел вычисляется с помощью т.н. алгоритма Эвклида. В этом алгоритме основную роль играет операция деления чисел с остатком, т.е. представление вида , .

Запишем числа . Найдем остаток от деления на , запишем его вслед за : . В полученном списке рассмотрим последние два числа.

Найдем остаток от деления первого из них на второе: , допишем в список: . Действуем далее аналогично, пока впервые (на -ом шаге) не возникнет ситуация, когда . Тогда .

Очевидно, алгоритм корректен, т.к. элементы списка убывают на каждом такте работы. Кроме того, нет необходимости вести весь список целиком, достаточно сохранять два последних члена.

Схема алгоритма Эвклида может быть применена и для многочленов и над полем .

Операция деления с остатком соответствует представлению вида , . Если впервые на -ом шаге оказывается, что , процесс вычисления остатков от деления останавливается и .