3.3. Корни полиномов и формулы Виета.

Полином может рассматриваться не только как функция, но и как запись некоторой последовательности действий над переменной .

В принципе, не исключено, что указанная последовательность действий может быть выполнена с объектом, не принадлежащим полю . При этом операции необходимо интерпретировать более общим образом, однако в случае, когда объект принадлежит полю , общие операции должны вырождаться до операций в этом поле.

Вспомним, что подобным образом согласованы операции в поле и его подполе. Таким образом, вычисление значения полинома можно проводить не только для переменных , но и для объектов, принадлежащих расширению исходного поля.

Определение. Корнем многочлена называется элемент , принадлежащий какому-либо расширению , такой, что .

Теорема. Существует расширение поля , в котором заданный нормированный многочлен представляется в виде произведения из сомножителей: , где - корни многочлена .

Следствие. Неприводимый над полем многочлен не имеет корней в этом поле.

С заданным корнем могут совпадать несколько других корней. Количество всех корней равных называется кратностью корня .

Определение. Кратностью корня многочлена называется число , такое, что делится на , но не делится на .

Теорема (Ф. Виета). Пусть - нормированный многочлен над полем , а - его корни.

Тогда имеют место следующие соотношения (Формулы Виета):

Подчеркнем, что операции следует рассматривать в соответствующем расширении поля .