2. Метод жордана – гаусса. Однократное замещение в канонических системах

Решение системы линейных алгебраических уравнений приводится в таблице Гаусса согласно алгоритму метода последовательных исключений:

1. каждая последовательная итерация начинается с выбора разрешающего элемента, отличного от нуля, в предыдущей таблице (удобно в качестве разрешающего элемента выбирать элемент, равный 1);

2. элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент;

3. элементы разрешающего столбца, не принадлежащие разрешающей строке, заполняем нулями;

4. элементы остальных строк пересчитываем по «правилу прямоугольника»:

– разрешающий элемент.

Тогда элемент вычисляется по формуле

.

Алгоритм применяется до тех пор, пока в каждой строке не получим базисные переменные.

Пример 1. Решить систему методом Жордана – Гаусса. Если система имеет множество решений, найти хотя бы одно базисное и указать, будет ли оно опорным.

Решение:

Б
	2 5 6	7 12 -1	3 5 -2	1 3 5	6 10 -2
	2 -1 -4	7 -9 -36	3 -4 -17	1 0 0	6 -8 -32
	0 1 0	-11 9 0	-5 4 -1	1 0 0	-10 8 0
	0 1 0	-11 9 0	0 0 1	1 0 0	-10 8 0

Систему привели к системе с базисом:

Базисное решение не является опорным.

Пример 2. Дана каноническая система:

где – базисные неизвестные, свободные члены неотрицательны. Если свободные неизвестные прировнять к нулю, то получим базисное неотрицательное решение, которое называется опорным.

Итак, – опорное решение.

Для нахождения других опорных решений выполняем операцию однократного замещения, при этом:

1) разрешающий столбец выбираем так, чтобы в нем оказался хотя бы один положительный элемент;

2) разрешающую строку выбираем по наименьшему Ө, который равен отношению свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца.

Б							Ө
	1 3 0	1 0 0	0 0 1	0 1 0	-3 1 -2	2 1 3	2/1=2 1/3 -
	0 1 0	1 0 0	0 0 1	-3 1/3 0	-10/3 1/3 -2	5/3 1/3 3

– опорное решение.

Можно найти и другие опорные решения, например, в качестве разрешающего столбца можно выбрать столбец соответствующий .

Решить системы методом Жордана – Гаусса. Если система имеет множество решений, найти базисное.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Найти все опорные решения следующих систем.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.