3. Графический метод

Графически решаются задачи в стандартной форме, содержащие не более двух переменных; задачи общего вида, в системе ограничений которых не более двух свободных неизвестных.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить графически задачу линейного программирования.

Строим область решений системы ограничений. Для этого последовательно определяем области решений каждого неравенства.

Чтобы найти область решений первого неравенства, строим граничную прямую , которая делит плоскость на две полуплоскости, а затем, испытывая какую-либо точку (проще О(0;0)), определяем полуплоскость, точки которой удовлетворяют неравенству. Точка О(0;0) не удовлетворяет неравенству , следовательно, область решений неравенства не включает начала координат. Отмечаем область стрелками.

Решаем аналогично остальные неравенства, находим общую область решений, удовлетворяющую всем неравенствам.

Областью решений системы неравенств является многоугольник АВСДЕМ. Так как решения удовлетворяют условиям , область решений называется допустимой областью решений задачи.

В этой же системе координат строим целевой вектор , перпендикулярный к линиям уровня . Строим перпендикулярно вектору линию уровня и, перемещая ее параллельно самой себе в направлении вектора , определим крайнюю точку области, в которой Z примет наибольшее значение.

В решаемой задаче максимальное значение Z будет достигнуто в точке Е. Определяем координаты этой точки:

Е(6; 2),

.

Пример 2. Решить графически:

Приводим систему к системе с базисом:

Б
	1 1	1 1	1 -1	1 3	5 7
	1 0	1 0	1 -2	1 2	5 2
	1 0	1 0	2 -1	0 1	4 1

Перейдем от канонической системы к стандартной, отбрасывая в уравнениях базисные переменные.

Исключаем базисные переменные из выражения для функции Z

.

Решаем графически задачу:

Максимальное значение функции Z достигается в точке А(4;0):

.

Найдем оптимальное значение :

Ответ: .

Решить графически следующие задачи линейного программирования:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. Изготовление продукции двух видов требует использования сырья трех видов. Запасы сырья, норма расхода и прибыль от реализации единицы продукции приведены в таблице:

Вид сырья	Запас сырья	Норма расхода
	120 40 30	3 1 0	2 0 1
Доход от реализации одного изделия		3	2

Составить план производства, обеспечивающий наибольшую прибыль.

16. Человек должен потреблять в сутки некоторое количество питательных веществ. Их содержание в разных видах пищи приведено в таблице:

Питательные вещества	Норма	Виды пищи
		А	Б
Жиры Белки Углеводы	10 12 16	1 3 2	5 2 4
Стоимость 1 усл. ед. вида пищи		2	3

Составить диету наименьшей стоимости при условии, что организм должен получить минимальную суточную норму питательных веществ. пт. е. ять к нулю, то ные ободные члены не отрицат00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000